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TOSMポスト・質問集(1-5)
第5回TOSMポスト・質問解答集
第6回TOSMポスト・質問解答集(放っておいたせいもあって大きくなり過ぎたので,1999年までの質問を移動しました。したがって,取り敢えずすべての質問には回答をつけました.回答にご不満な方は再度ご質問ください.なお,第7回分については,ときどきは見回り,暇を見つけては回答していきますので宜しく!)

このページは10分ごとに自動更新されます。

TOSMポスト掲示板(第7回開設中)

「所属欄」が「学籍番号欄」になっているのは,プログラムの都合です.ご容赦下さい。
内 容
名  前古川昭夫
学籍番号fakio@seg.co.jp
題  名小学校での円周率πの取扱について
コメント古川@SEGです。

小学校では 円周率π を 3として扱うという
話しらしいですが、それは、教科書に
円周率 = 3.14159265・・・
という値は紹介されるけれど、
「問題を解く時には 簡単のため 
 円周率 は 3 として計算して良い」
ということなのでしょうか?
それとも、
教科書には
 「円周率 は だいたい3である」
とだけ紹介されるのでしょうか?

どなたか 詳しい方がいましたら 教えて下さい。


端末IPIP-ADDR:202.33.199.67
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 5.0; Windows NT; DigExt)
日  付Sun Jan 16 23:44:16 2000

内 容
名  前浅井純志
学籍番号
題  名グレゴリ級数
コメントπ=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9.....)というのが、グレゴリ級数でしたよね?この式自体本当に正しいの?それともまちがいなの?教えて頂戴。
正しければ証明も載せてください。
端末IPIP-ADDR:210.157.16.46
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 5.0; Windows 98; DigExt)
日  付Sat Jul 8 18:23:21 2000
回 答 いいえ,ライプニッツの級数です.arctan x のマクローリン展開で得られます.歴史的なことも知りたければ,『解析教程 上』の73ページをご覧ください.また同書の51ページにグレゴリーの級数も載っています.

内 容
名  前置田 きよみ
学籍番号okita@
題  名
コメント初歩的な質問ですみません。

掛け算の「繰り上げ」についてです。

正数の個数と、小数点以下二桁の単価を掛け、
正数の金額を求めます。
この時、「繰り上げ」て、金額は正数としたいのです。
もし、結果が、
「5.01」となった場合は、5でなく、6だと思って良いのでしょうか?
繰り上げの計算式として、
「数量*単価+0.99」の結果を切り捨てる
と考えて良いのでしょうか?
それとも「0.99」でなく、「0.9」なのでしょうか?
端末IPIP-ADDR:210.147.106.23
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 4.01; Windows 95)
日  付Fri Sep 15 23:40:55 2000
回 答 「繰り上げ」という操作は何なのか,僕には分からないので放っておいた質問です.誰か答えてくれないかなあ.
「切り上げ」「切り捨て(下げ)」 」「4捨5入」なら分かります.その場合だとして答えることにします.
5.01を小数点以下2位で切り上げるのなら,5.1になりますし,小数点以下1位で切り上げるなら6になります.後者の場合,小数点以下1位の数が0だからといって切り捨ててはいけません.

また,「「数量*単価+0.99」の結果を切り捨てる」というのは何をしたいのか,分からない操作です.
 好意的に考えることにしましょう.結果を整数でほしいので小数点以下1位で操作することになりますね.数学的にそこで切り上げるということになれば,1位の数を見て,そこが1以上なら切り上げるわけです.0のときは小数点以下2位の数を見て,そこが1以上なら切り上げて,そこが0ならまた小数点以下その下の桁を見てと,原則的には永遠にやることになります.
 しかし,現実的に数を扱う際には有効数字が問題になります.計測でなら,観測の精度ですね.
 商取引上であれば,例えば単価が小数点以下2桁で指定されているような場合は,100個単位でしか売買されないことが前提になっていることが多いのです.
 「切り上げ」ではなく「繰り上げ」という言葉を使われたのには,何かしらの含みがあるのでしょうか.本当にこのような状況が起こるとは思いにくいのですが,起こったとすれば,6にすべきで,そうしないというなら,「切り上げ」という原則を 0.01 位なら負けてあげるように,という商取引上の心配りというものでしょう.
 ご質問は四捨五入の際に,問題の桁の 0.5を足して切り下げることと同じだということの類似を狙ってみたということなのですか?   類似は効きません.小数点以下1位で四捨五入するのは,半開区間 [n-0.5, n+0.5) を n とすることです.切り捨ては [n, n+1) を n とすることだから,0.5 だけずらせばよいのですが,切り上げは (n-1, n] を n とすることですので,ずらすことでは実現できません.

内 容
名  前清水 藍
学籍番号中央大学杉並高等学校 3年
題  名微分について理論の説明
コメント 今、数学の授業で微分・積分をやっているのですが、質問があります。


f(χ)がχ≧0で微分可能で、
) χ>0のとき、f(χ)>0、
) χ=0のとき、f(0)=0ならば
どうしてχ>0の範囲でf(χ)>0といえるのか?

ということが、感覚的にはわかるような気がするのですが、数学的に説明がつけられません。(f’(χ)>0ならばf(χ)はχ>0で増加関数あることはわかります。)
お忙しいとは思いますが、答えていただけませんか?よろしくお願いします。
解答忙しくて,この掲示板を見る時間がありません.できれば,書き込み者同士で解決して下さると有り難いのですが,メールで直接質問があり,久し振りに掲示板を見たら,幾つか答えた方がよい質問もあるようなので、時間が出来たら,順次解答して行きます.
 さて、この質問ですが,このままでは意味がありません. i)の条件は) χ>0のとき、f'(χ)>0のミスプリントでしょう.それなら,解答は簡単で,平均値の定理を使えばよい. 平均値の定理は、キチンとは大学で習うのですが,高校の教科書にも書いてある本もあるのではないでしょうか.少なくとも以前はそのような教科書が存在しました.
 定理の内容は、上の状況でなら, 0<a<xで f(x)-f(0) = f'(a) (x-0) を満たす点があるというものです. 証明はちゃんとした大学の微積分の教科書を見れば書いてありますが,1つ挙げるというなら、僕の訳した『解析教程』(ハイラー・ワナー著、シュプリンガー・フェアラーク東京)の下は如何でしょうか。  (2000.10.20、蟹江)
端末IPIP-ADDR:211.2.5.110
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 4.01; Windows 95)
日  付Sat Oct 14 06:11:32 2000

内 容
名  前田中 千鶴
学籍番号chizchiz@japan.co.jp
題  名質問されたのですが・・・
コメント初めてお便りさせていただきます。
お忙しいところ誠に申し訳ありません。

子供に「分子と分母の間の線をどう呼ぶの」かという質問を
されたのですが答える事が出来ませんでした。自分でも
インターネットで調べてみたのですがわかりませんでした。
もし、おわかりの方がいらっしゃいましたらお手数ですが、
教えていただけないでしょうか。

よろしくおねがいします。
端末IPIP-ADDR:210.248.123.85
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 4.01; Windows 98)
日  付Mon Oct 16 16:57:36 2000
回 答 特に名前はありません.「間の棒」とでも読んだらいかがでしょう.もともとの記号ではこの棒はなかったのです.公教育が広まり,初心者にも教えることができるようにと,記号法が改良(?)されていって,上と下の数を区別するために,その区別を強調するために棒が差し込まれたものが広く流通するようになったのではないでしょうか.
 歴史的には商よりも比のほうが長く,比の記号も長く定まっていませんでした.以前,比例することを示す記号について受けた質問で,かなり詳しくお答えしていますが,その折にも現代的な記法に決定的な役割を果たしたライプニッツが,まさにその時にこの商の記法も確定したといってもよいと思います.ただ,初出といえるかどうかは問題ですね.

内 容
名  前池谷
学籍番号会社員
題  名簡単な質問ですみません
コメント微積分を考え出した人を教えて下さい。
回 答 はい、ニュートンです。ライプニッツという人のことも忘れていけません.でも、誰が考えついたかより、何を考えたのかの方が大切です.
 歴史的なことを単に人間的な観点からだけ知りたければ、数学史や科学史の本が山ほどあります.それらの本については、僕の「ほんの本のリスト」の歴史のページをご覧ください.
 数学的な背景も裏話も知りたければ、アーノルド『数理科学のパイオニアたち』(シュプリンガー・フェアラーク東京)が面白く、数学的なこともちゃんと知りたければ、『解析教程』(ハイラー・ワナー著、シュプリンガー・フェアラーク東京)の上は良いでしょう。 (2000.10.20、蟹江)
端末IPIP-ADDR:210.229.192.19
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 5.0; Windows 95; DigExt)
日  付Tue Oct 17 19:54:53 2000

内 容
名  前山田 哲也
学籍番号CEDRIC_430@webtv.ne.jp
題  名くだらない質問かも、知れませんが…。
コメント数学関係のホームページを、検索していましたら、貴HPに、辿り付きました。静岡県在住の29歳の者です。よろしく お願いします。
『数列』に関してご質問させて頂きたい事が、あるのですが、よろしいでしょうか?

★1から31までの数字が、あります。

○○○○○

5つの○の中に、1から31までの、任意の数字を、選択して入れるとします。
但し、一度 使った数字は、同時に2回、使わないものとします。

数字の『並び順』は、関係 無いものとして、全部で、いくつの『組み合わせ』が、存在するか、お判りになる方、おられますでしょうか?

※実は、『数字選択式 宝くじ』に関する、質問なんです。
もし、ここの貴HPに、ふさわしくない質問と、判断されましたら、削除して下さい。
管理人様、よろしく お願いします。
端末IPIP-ADDR:210.150.22.36
BROWSER:Mozilla/3.0 WebTV/1.2 (compatible; MSIE 2.0)
日  付Wed Nov 28 22:48:53 2001

内 容
名  前けい
学籍番号小値賀中学校
題  名定義=???
コメント台形の定義を、おしえてください
端末IPIP-ADDR:211.2.48.108
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 5.5; Windows 98; Win 9x 4.90)
日  付Sat Dec 15 14:09:58 2001
お答え1組の対辺が平行な四辺形のことです.だから,平行四辺形でも菱形でも,長方形でも,正方形でも台形ですが,小学校ではむしろ高次の対称性を持つものは台形と呼ばないこともあります.台形という日本語の意味は,台形の中でも等脚台形が「台」のような形をしているからです.

内 容
名  前素生
学籍番号都立永山高校(生徒)
題  名虚数
コメント学校の学年末テストで「小学生高学年、または低学年に
i(虚数)ってなに?と聞かれたら貴方はどう答えますか?
自由に答えなさい」という問題を出すと言われました。
しかし、一体どう答えればいいのかさっぱり解りません。
3/7がテストなので、できれば前日までに回答願います。
(間違えて別の掲示板に書き込んでしまったので、すみませんが
そちらは削除しておいてください。)
端末IPIP-ADDR:210.170.215.174
BROWSER:Mozilla/4.05 [ja] (Win95; I)
日  付Tue Feb 26 22:59:51 2002
コメントレポートや試験問題については解答をしません.大体,僕が巡回するのが不定期過ぎて間に合わないでしょう. 自由にお答えください. しかし何より問題なのは,小学生にどう教えるかよりも,君がどう思っているのかということです.それを書き込んで,これでいいでしょうか?くらいの質問なら,答えたかもしれません.

内 容
名  前つたや。。
学籍番号中学3ねん
題  名平方根の問題教えて下さい★★★
コメント数学の質問ですが、教えて下さい〜〜!!
よろしくお願いします。

問題:√a−√3×√b=√2を満たす最小の正の整数a,bの組を求めよ。

解答:与式は、√a−√3b=√2  となり、3と2は互いに素である
(互いの最大公約数が1である)ことから、√3bは√2の倍数でなければならない。(√aも√2の倍数である・・・・・※)。
すなわち、m≦1なる正の整数mを用いて
  √3b=m√2
    =√2m二乗
とおける。ゆえに
   3b=2m二乗
である。最小のbを求めるため、mを小さい方から順に代入していくと、
  m=3のとき  3b=18  ⇒b=6で適する
よって  √a−√3b=√a−√18=√2
     √a=4√2   なので√a=32
ゆえに (a、b)=(32、6)・・・答


とゆう問題なのですが、最初にある
『与式は、√a−√3b=√2  となり、3と2は互いに素である
(互いの最大公約数が1である)ことから、√3bは√2の倍数でなければならない。(√aも√2の倍数である・・・・・※)』
の意味が分かりません・・・・・。なぜ互いに素だから√3bは√2の倍数でなければならないのでしょうか????
倍数でなければならない意味って??
互いに素がなんででてくるの??


困っています・詳しく教えて下さい☆☆☆よろしくお願いします。
端末IPIP-ADDR:211.133.113.6
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 5.0; Windows 98; DigExt)
日  付Wed Apr 17 23:09:41 2002
コメント上のが解答だとしたら,これは中学レベルではありませんね. 本当に中学生に対して出されたのなら,その状況も込めて質問してください. その上で,もしそうなら,中学生にも理解できる筈の解答を考えてみましょう.

内容
名  前リトルミス
学籍番号私立高校2年
題  名正四面体の重心について
コメント 正四面体OABCで、Oから面ABCに垂直に降ろした線をOHとする。重心をGとすると『OG:GH=3:1』になる。ただし、Hは三角形ABCの重心とする。

なぜ、3:1になるのですか?なぜ2:1ではないのですか?

よろしくお願いします。
端末IPIP-ADDR:61.203.156.254
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 5.0; Windows 98; DigExt)
日  付Fri Jun 14 02:16:59 2002
コメント一言で言うと,立体だからです.三角形のときは平面で,3つの頂点と重心で3つの同じ面積の三角形に分かれますね.今度は,例えば,GABCは三角錐で,それと合同な4つの三角錐によって,OABCは分割されます.だから, OH=4GHとなります.OH=OG+GHだから,3:1になります.

 それから,質問するときはちゃんと名前を名乗りましょう.

内 容
名  前
学籍番号大学1年
題  名Kahanの加算法
コメントKahanの加算法を使い (-1)のi-1乗/i を100項まで計算せよ。という問題がでました。Kahanの加算法とは、どういうものですか。
端末IPIP-ADDR:133.37.214.2
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows 98; Q312461)
日  付Thu Dec 5 18:22:11 2002
コメント済みませんね.Kahanさんの名前を初めて聞きました.どうやら,数値計算では有名な人のようですね.連立1次方程式の数値解法についての教科書があります.
しかし,問題が出たということは,講義でやったか,教科書に書いてあるかじゃないのでしょうか.それを見て,ここが分からないという形の質問にしてください. 出ないとお手上げです.
2003.6.10

内 容
名  前折祖
学籍番号下館市立北中学校
題  名公式が知りたい
コメント立体形を平面で割るといくつになるか
端末IPIP-ADDR:211.134.77.89
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 5.5; Windows 98; Win 9x 4.90)
日  付Thu Jan 30 14:12:21 2003
コメント答えたくても答えようがありません.
 「立体形」とは何でしょうか.「平面で割る」とは何をすることでしょうか? 「いくつになるか」という質問は,数で答えることができるということですよね.

分かりません.もしかすると,立方体のようなものを平面で切った切り口がどういう図形になるかとか,いくつの部分に分かれるかという感じのことなのでしょうか?
 うーん,名探偵でも,データがないと推理が出来ません.あーあ,殺人が起こってしまう.....
 2003.6.10

内 容
名  前小林
学籍番号内原町立内原中学校教員
題  名素数
コメント 突然のメールすいません。
 別な掲示板に文字化けしたのは,私のです。改めて,ここに質問させていただきます,お許し下さい。
 早速なんですが,なぜ素数に1が入らないかということです。

 自分なりの結論
その1
 素数の定義として,1とその数字自身しか約数を持たない数ある。これは,1とその数を別な数としてみている。つまり,1を素数とすること自体矛盾するから。

その2
 ユークリッド原論による素数の定義として,素数とは単位によってのみわりきられる数とある。ここの単位を1と,わりきられるというとき原論の中では大きい数,小さい数という言葉を使っていることからA÷B=C(A>B)と解釈する。つまり,A÷Aを考えない。(たとえば,3の倍数は6からになる。)そうすると,1でわるということじたい,わられる数は1より大きい数となる。

以上,無知な自分が恥ずかしいですが,よろしくお願いいたします。
端末IPIP-ADDR:210.165.184.171
BROWSER:Opera/6.05 (Windows 2000; U) [ja]
日  付Sun May 4 17:19:47 2003
コメント もう1つ質問の意味が分かりませんが,なぜ1は素数として扱わないか,という質問だとしてお答えします.
 素因数分解の一意性定理が成り立たなくなるからです.1×1×1×1×1×1=1などとなるので,素因数がいくつって言えないでしょう.だから,です.  ちなみに,原田耕一郎氏から誉めてもらった,「素数の定義」を書いておきます.自然数で,約数の数が1のものを単数,2のものを素数,3以上のものを合成数という.
 答えになったでしょうか.教科書に書いてある定義だって疑う.いいことです.
 ところで,内原町って何県なんですか? こういうことで悩む中学の先生のいるところ,素敵だなあって思います.いいところなんだろうなあ.....
 ところで,文字化けしたら,直接メールを送ってください.また,文字化けするとか,登録できないとかの不備が起こるようなので,緊急避難として,別の掲示板も容易しました.今度何かトラブルが起きたら,動くようにしましょう!!
 これに懲りず,何でも質問してください.
 2003.6.10

内 容
名  前黒井徳幸
学籍番号蟾睫攸
題  名後方交会法
コメント測量現場にて、任意の点pにトランシットを据え、基地点A(x1、 y1)を視準し角度を0度に合わせ、距離 r1 を測り
基地点 B(x2、y2)までの角度 α1とします。
pからBまでの距離を r2 とします。
任意の点pの座標(x3、y3)の計算式を教えてください。
端末IPIP-ADDR:219.164.148.126
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 5.5; Windows NT 5.0)
日  付Tue Jun 17 14:19:06 2003
コメント 具体的に求めなくてよいなら,原理的には簡単です. しかし,誤解があるかもしれないので確認します. AとBが基地点ということは,基準となる点で,座標は知られているとしていいのですね. しかも,観測点 P(x_3,y_3) までの距離が分かっているのですね. でしたら,三角形 ABP は3辺合同定理で確定してしまうので,それを表わす式を書けばいいわけです.つまり,
(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2=r_1^2
(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2=r_2^2
を解けば御仕舞い.解は直線 AB に関する対称点と2つ出てきますが,状況から片方が決まるでしょう. また間の角αの正負によっても決まります.
 A,Bの座標が決まっていれば,r_1とαだけからもr_2が求まるので,r_2の測量は不要です. 長い距離の場合,角よりも距離の方が誤差が大きいでしょうから,その方がいいでしょう.もちろん,光学機器の発達で安価で正確に測れるのならそれもいいでしょうし,誤差を少なくするには検算の意味で行うのもよいでしょうが.
 誤解があったようなら,再度質問してください.

内 容
名  前高村健一
学籍番号takamura@jb3.so-net.ne.jp
題  名「内積」の「内」の由来
コメント「内積」は inner productの直訳との事ですが、ではこの innerの由来は何でしょうか。何のinnner「中」、あるいは「内」 なのでしょうか? またこの言葉は誰が、いつ頃から最初に使いだされたのでしょうか。内積の定義については教科書、その他に書かれているのですが、単語の由来については調べても分かりませんでした。
国語の問題のようで申し訳ありませんが、子供に聞かれて困っています。御教示下さい
端末IPIP-ADDR:218.41.43.128
BROWSER:Mozilla/4.7 [ja] (Macintosh; I; PPC)
日  付Mon Oct 6 11:33:05 2003
コメント「内積」はinner productの直訳です. これは「外積」(outer product)というものと区別するために使われているのであって,あまり内側という気分のものではありません. 3次元空間のベクトルには2種類の積があり,一方を内,他方を外と言う.で,駄目ですか? 頻用されている言葉なので,流儀によっては内積をスカラー積,外積をベクトル積と言uこともあります. 外積には exterior product という外積もあって,これだと,積の結果が元の空間の外に出てしまうという気分はあります. 大学で,線形代数を習うと,自然に分かる事柄で,その種の教科書には基本的には何にでも書いてあります. 誰が使い始めたかというのは,調べて分かるかどうかも分かりません. 使い始めたのは19世紀末くらいだろうと思います. もっと細かいことがお知りになりたいのでしたら,もう少し限定的にお訊き直しください.

内 容
名  前高村健一
学籍番号takamura@jb3
題  名内積の再質問
コメント内積の結果がスカラーとなるからスカラー積といったり、表示方法が「・」を使うからドット積といったりすると言うのは納得できるのですが、2つの事柄を区別するために用いる言葉なら「右」と「左」でも、「上」と「下」でもよいと思うのですが、なぜinnnerという形容詞を選んだのか、あるいは選ばれたのかを知りたいのですが...
質問の内容が数学と全くかけ離れていて申し訳ありません。(片野善一郎という先生の「数学用語と記号ものがたり」という本も見たのですが、内積については触れられておりませんでした。)
端末IPIP-ADDR:219.98.245.153
BROWSER:Mozilla/4.7 [ja] (Macintosh; I; PPC)
日  付Tue Oct 7 21:43:47 2003
回 答 質問はこっちの掲示板ですので,移動しました.
さて,調べてみました. 内積(INNER PRODUCT)という言葉が最初に出版物に登場するのは,H.G.グラスマンの1844年のDie lineale Ausdehnungslehre(線形延長講義)というドイツ語の本で inneres produkt という形のものです.
何故かについては2説あって,1つは前回の回答に述べたように,いろんな種類の積を考えていたグラスマンが頻用する2つを選んで,反対語のものを適当に決めただけというもの. もう1つの説は,2つのベクトルの内積は,一方が他方の内側に入る成分を持たない限り0になるからというものです.こじつけたような解釈ですが,これがOEDの解釈です.
僕は,後者の解釈はとりません. 自分で何かの術語を決めるときのことを考えてみても,本当に内容を反映しているようにつけることは,かなりな専門性を持ったものでないと難しいものです.

内 容
名  前まい
学籍番号高校生
題  名高校の数兇侶彁嗣簑蠅任后
コメントはじめまして。数兇侶彁嗣簑蠅覆鵑任垢、できそうで出来ません。。。

問題↓

(A-B)(B−C)分のCA + (B−C)(C−A)分のAB + (C−A)(A−B)分のBC


です。
よく見る問題で前もやったことある気がするのですが、やり方をまったく
忘れてしまいました。
分母を全部展開してみて、全分母で通分してみようと思ったのですが、
途中から分からなくなりました。
地道に通分していくのでしょうか。それとも、やり方があるのでしょうか。
教えていただければと思います。
よろしくお願いします。

端末IPIP-ADDR:61.203.156.36
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 5.0; Windows 98; DigExt)
日  付Thu Nov 20 00:07:15 2003
コメント 質問の意味が分かりません。 計算問題というのは展開せよということなのですか? だったらやるしかありません.
うまい方法というのは,地道な計算の蓄積から生れるので,そうでないと,うろ覚えで, 本当の試験のときに間違えますよ.
それとも, 公分母がABCで,これで約分はできませんから,分子を因数分解せよという意味なのですか?もしもそうなら,分母は斉次3次だから,.....
ユークリッドが「幾何学に王道はない」といったように,「代数にも王道はない」としか言えないようです.

内 容
名  前尾澤勇樹
学籍番号東村山第六中学校
題  名質問です?
コメントあるひとが平行の2直線も交わる場合があるといっていたんですけどそんなことは本当にあるんですか?
端末IPIP-ADDR:210.20.43.136
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1)
日  付Mon Dec 1 23:28:32 2003
コメント 「平行とはなにか」ということですね.
どこまで延ばしても交わらないのが平行線の定義なのですから,もしも交われば,それは平行線でなかったことになりますね.
そうすると,この人は平行線はあり得ないといったことになります.
実は,平行線のある世界も,ない世界も,無限本ある世界もあるのです.
僕たちが住んでいるこの地球の上で,平行だと思う線をどんどん延ばして行くことは出来ません.だって,地球は丸いから,まっすぐ延ばそうとすると,空中に浮いて行き,宇宙に出かけないといけなくなります. で,地面に沿って延ばすのなら,それは必ず交わってしまいます.
さて,超能力を持っているか,スーパーマンだったら,宇宙に飛び出すことができますが,さて,それで交わらないことが確かめられるでしょうか?
それは,君への宿題にしましょう。 もう少し勉強して,鋭いツッコミをしてくれれば,この後の話が出きるかもしれません。

内 容
名  前菊池博子
学籍番号お茶大 社会人大学院生(文系)
題  名パスカル『パンセ』中の数学用語について
コメントパスカルは『パンセ』の中で次のような数学用語を使っています。
もし文章上のレトリックでないとすれば、現代数学では正しくないところがあるように思われます。
又、デカルトが考案したと聞く「座標」をパスカルは知っていたと考えられるでしょうか。
以下の1.2.3.は便宜上つけた質問の番号です。.

『パンセ』断章72(Brunschvicg版 前田陽一訳、中公クラシックス)
1.「私は、ゼロから4を引いてゼロが残る ということを理解でき   ない人たちがいるのを知っている。」
質問:パスカルは負の数の概念を持っていたのでしょうか。

『パンセ』断章233(Brunschvicg版 前田陽一訳、中公クラシックス)
2.「1を無限の上に足しても、少しも無限を増加させない。」
  質問:無限は数字のようには数式に入れられないと聞きまし
     た。上記の設定自体が無理なのでしょうか。

『パンセ』断章72(Brunschvicg版 前田陽一訳、中公クラシックス)
「(人間との釣合において、宇宙を「無限」とみなす。ダニの体を
  血管→その液の中のしずく→しずくの中の蒸気 と分割した最後
  のものを「虚無」と呼ぶ。)とした上で:
  人間は、無限(infini)と虚無(neant)とのこの二つの深淵の中間  にある」
質問:人間を中心におき、「無限大」の対局にあるものを「無限  小」と考えているようです。
  一つの線上に大きなものから小さなものへ順に並べる、という発  想から来ているように思えます。線上にゼロの点を考えると、
  パスカルの考え方は全てプラスの領域の話になり、無限大は例え  ば右の方への矢印、無限小は0と1との間のあらゆる点というよ  うになります。無限大と無限小は日本語の字ヅラでは、対局にあ  るもの同士のようですが、概念として、対局にあるもの同士とい  う考え方は、どのような条件下に、正しいのでしょうか。
  以上、
 
端末IPIP-ADDR:218.226.255.206
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows 98)
日  付Sun Dec 7 14:54:56 2003
答え?2と3については数学者にとってはまったく違和感なく了解できます.微積分の教科書をそういう目で見れば分かると思います. その点への関心を高めた教科書を書いています.数学セミナーの4月号から連載する予定です.
1については分かりません.まず,パスカルがこのような意味で言うはずがないという感じがします. 別の訳本に当たってみましたか?また原文に当たってみましたか? もし,本当にそう言っているというのであれば,その前後の文章も見てみないと,分からないというしかありません.
今僕に時間があれば,当たってみるところですが,時間がないので,そちらにおまかせします. 事実が分かったら教えて下さい.

それから,「対局」ではなくて「対極」です。

内 容
名  前菊池 博子
学籍番号kikuchi.hiroko@nifty.com
題  名再びパスカル『パンセ』中の数学用語について
コメントご回答を有り難うございました。変換ミス、申しわけありません。
なお、負の数の概念がいつ頃からあったかについても、ご教示
下さい。インドでのゼロの発見は「位どり」のゼロ(l,000とは
百、十、一の位には何もないこと)だということは聞きました。

質問1.「ゼロから4を引く」の和訳の前後部分と原文です。

『パンセ』、ブルンシュヴィック版 断章72 前田陽一訳
「我々の知性は、知的なものの次元において、我々の身体が自
然の広がりの中で占めるのと同じ地位を占めている。
 我々は、あらゆる方面において限られているので、両極端の
中間にあるというこの状態は、我々の全ての能力において見出
される。我々の感覚は、極端なものは何も認めない。あまり大
きい音は、我々の耳を聞こえなくする。あまり強い光は、目を
眩ませる。あまり遠くても近くても、見ることを妨げる。話が
あまり長くてもあまり短くても、それを不明瞭にする。あまり
真実なことは、我々を困惑させる。私は、ゼロから4を引いて
ゼロが残るということを理解できない人たちがいるのを知って
いる。第一原理は、我々にとってあまりに明白すぎる。あまり
に多くの快楽は、不快にする。あまりに多くの不協和音は、(......)」。あまりの恩恵は、
(......)。すなわち、極端な事物は、我々にとっては、あたかも
それが存在していないのと同じであり、我々もそれらに対して
は存在していない。」
《Notre intelligence tient dans l'ordre des choses intelligibles le meme rang que notre corps dans l'etendue de la nature.
Bornes en tout genre, cet etat qui tient le milieu entre deux extremes se trouve en toutes nos puissances. Nos
sens n'apercoivent rien d'extreme, trop de bruit nous assourdit, trop de lumiere eblouit, trop de distance (......). Trop de longueur (......) et trop de brievete
du discours l'obscurcit, trop de verite nous etonne. J'en sais qui ne peuvent comprendre que qui de zero ote 4 reste zero (註17). Les premiers principes ont trop d'evidence pour nous; trop de plaisir incommode, trop de consonances (......), trop de bienfaits (......).
Enfin les choses extremes sont pour nous comme si elles
n'etaient point et nous ne sommes point a leur egard;
elles nous echappent ou nous a elles.

「ゼロ引く4」の文の二つ目の qui は17世紀的用法のようです。

註17(Le Guern版による): Cela n'est d'ailleurs vrai que
si zero est pris absolument comme synonyme de neant;
si c'est le zero algebrique, le resultat sera −4.
 
「虚無neant」という語をパスカルは、無限小(ダニの体の細分)
に対して使い、無限infiniと対比させています。

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日  付Fri Dec 19 10:41:32 2003
コメント 数理哲学的なことに関心の高い佐波君に,quatre の部分を振っておきましたので,年内に返事が来ると思います.
負の数については,本当に知りたいのなら再度訊いてください. 調べておきます.

内 容
名  前佐波 学
学籍番号鳥羽商船高専
題  名パスカルにも素人ですが
コメント パスカルにも、数学史にも素人なのですが、上欄に投稿された
”パスカル『パンセ』中の数学用語について”に興味を感じ、
私見を述べさせて戴きたいと思います。

(1)質問されている方が、本当に知りたいのは何なのか、もうひとつよくわからないのですが、「パスカルが ”17世紀”に用いていた数学用語が ”現代”数学で正しいかどうか?」というのは、問題の設定の仕方に無理があるのではないかと思います。
 パスカルの食べていたリンゴが、今八百屋で売られているリンゴと「同じ」か、「同種」か、あるいは、「同系統」か、を問題にすることは可能でしょうが、「パスカルの食べたリンゴが現代栽培植物学的に正しいか?」という質問は、ちょっと苦しいのではないでしょうか。
 もし「数学と言うのは時代の変化を蒙らない真理の体系」であるとういう一種の迷信を仮定するのであれば、「パスカルの数学用語の用い方は正しいか?」でよいのでしょうが‥‥


(2)と、いきなり喧嘩を売るような言い方になってしましましたが、例えば、御質問の、「デカルトの考案した座標」も「負数の概念」も、パスカルは知っていたと思います。 
 ただし、デカルトの「座標」は、現在我々が学校で習う座標(coordinate)とはかなり異なるものですし、デカルト自身は「座標coordinate」といった言葉で呼んだわけでもないと思います。
 「負の数の概念」がいつからあったかについても、何をもって「負の数」と考えるかによって答えが違ってくると思います。計算の便宜上導入された概念としては、中国やインドでは、パスカルの生まれる何百年も以前から知られていたようです。

(3)「無限」や「無限小」については、文部科学省推薦の「現代の学校数学」においては、ほとんど扱われることがなく、パスカルの深遠な思想を測る物差しとしては、まず、役には立たないと思います。
 「現代の数学」が、無限や無限小をどう考えるか、ということについては、かなりいろいろな立場というか、答え方があると思いますが、文部科学省が標準を決めてくれているわけではないですし‥‥
 ただ、ひとつ言えるのは、パスカル自身の言葉を借りれば、「現代数学」も、所詮、「幾何学の精神」の賜物であり、「繊細の精神」とは縁遠い代物で、適応可能な範囲外のことを期待するのは必ずしもよい結果をもたらさないであろうということです。

(4)なお、断章72の「ゼロから4を引いてゼロが残る」のところですが、もちろん、パスカルの時代だろうと「0−4=0」はおかしいです。
 仮に負数の概念を認めないのであれば、「ゼロから4は引けない」とでもいうべきでしょう。
 ただ、素人の思いつきを述べれば、言葉の問題として、手元の(現在の)仏和辞典によると、quatreには「不定の少数」を示す形容詞的な用法があると書いてありますから、案外、この「4」は 「数」(とは何か、という難しいことは措くとして)を示す数字ではなく、 quatre という言葉の省略形で、いわば、「de zero ote un quatre (zero) reste zero」(ゼロから(ゼロの)何分の一かを除いても残りはゼロ)といった風には解釈できないのでしょうか? 『パンセ』は手書きの手稿だったと思いますが、そうした ”書き癖”は成り立たないのでしょうか?
 
(5)さらに、断章72についてですが、「真実なことが我々を困惑させる」ことの例として、「ゼロから‥‥という人たち」を挙げているわけですね。
 それでは、それは、どういう人たちなのでしょうか?
 まさに汗牛充棟といった研究の蓄積をもつ『パンセ』でしょうが、そうしたものに縁のないまったくの素人としては、パスカルの時代、あるグループをなしていた「不可分量(無限小量)」の信奉者のことではないかという気もします。この推測が正しく、また、パスカルが、『幾何学的精神について』で、「不可分量」の批判に
「半分のさらにまた半分(つまり四分の一)をとる」議論を何度か行っているところをみると、件の「4」は「1/4」のことが念頭にあってのことか、といった気もします。
 
(6)素人の妄想といったところを述べ立てて、汗顔のいたりですが、最後に、ひとこと申し上げたいと思います。
 パスカルの「数学用語」をもちいた議論には、パスカルに至るまでの、古来からの先人の様々な遺産が流れ込んでいるものと思われます。
 質問者の意図が、単なる思いつきの興味でなく、何がしかの学的な試みの一環であるのなら、現代の数学者というより、むしろ、
数学史の専門家に尋ねることをお考えになった方がよいのではないかと思います。
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日  付Tue Dec 30 21:59:46 2003

内 容
名  前杉原 Wataru Sugihara
学籍番号a_cryptomeria-plain@ma.0038.net
題  名質問されたのですが・・・
コメント初めまして、杉原と申します。 実は昔から正解のわからない問題がありまして、出典等も不明なため調べることができませんでした。 よろしければご教授いただけないかと存じ、この度失礼とは存じながらメールをお送りさせていただいた次第です。 以下の問題なのですが、とある業者製の数学プリントのコラムに掲載されていました。 とんちやひっかけではなく、れっきとした幾何学的問題だったと思います。 古典的な問題らしいのですが、その時以来目にしたことがありませんでした。 ぶしつけとは存じますが、どうか宜しくお願いいたします。
「ある海賊船が航海中、座礁して船底に5×13平方mの長方形の穴が空いてしまった。一刻も早くふさがなければならないが、修理のために用意されていた板は8×8平方mの正方形の板しかなかった。船員は65平方mの穴を64平方mしかない板でふさげるわけはないとあきらめたが、船長はものの見事に板を切り取ってつなぎあわせ、すきまなく穴をふさいでしまった。一体どのように板をつなぎあわせて面積を増やしてしまったのか?」
日  付Mon July 11 2004
回 答 これも,メールできた質問です.文字化けがするのでしょう. これは,この形で出されると「出来るわけがない」となっておしまいです. 20世紀初め頃の有名なパズルの1つで,具体的に8×8の正方形を分割して,それを組合せて5×13の長方形を作ったように見せる図が書いてあるというものです. もちろん成り立つわけがないので,図には誤魔化しがあるのですが,それがとてもわかりにくい,というものです. では,その分割の仕方を述べておきましょう. 8×8の正方形を,まず3×8と5×8の長方形に分けます. 3×8の長方形は対角線で2つの三角形に分けます.直角を挟む2辺が3と8の三角形です.これを A とします. 5×8の長方形は,長さ8の辺を3と5に分けて切り分け,2つの台形 B を作ります.B は上底3,下底が5,高さが5の台形になっています. さて,Aを1つとり,長さ8の辺を水平にして横たえると,高さ3の辺が垂直に立っています. その辺に B の上底(長さ)をくっつけると, 水平な長さ13=8+5の線分の端に,垂直な長さの5の線分(Bの下底)が立っていて,直角を挟む2辺が13と5の直角三角形が得られ(るように見え)ます. この「見える」が「である」かどうかというのが,パズルの要点です. これ以上は手品の種明かし.実際に作ってみるなり,ピュタゴラスの定理を使って,ある線分たちの長さを計算してみれば分かるでしょう.

内 容
名  前aoi
学籍番号
題  名負の数×負の数=正の数になるのはなぜ?
コメントなぜ、負の数×負の数=正の数になるんですか??
夏休みの宿題で説明しなさいっていう問題がありまして・・・
中学生に分かりやすく説明して下さい。
端末IPIP-ADDR:219.16.31.78
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1)
日  付Wed Aug 11 17:23:29 2004
コメントこの質問はよくあるのです.だから,過去問の中にあります. 第6回TOSMポスト・質問解答集の中の小屋敷 真毅君の質問と,それに対するコメントをご覧ください.
それでも分からない場合には,再度,分からない要点を述べて,質問して下さい. 今回の掲示板も大きくなってきていますので,そろそろ,まとめて,書庫に入れないといけないかもしれません.
どうぞ,質問の方々にお願いですが,過去問を探して見て下さい. FAQを作る暇がないので,お願いします.
端末IPIP-ADDR:219.16.31.78
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内 容
名  前田島
学籍番号横浜市
題  名任意の無理数の作図法
コメント蟹江先生
WEB上で無理数のことを検索していましたところ、HPに行き当たり、ご教示を乞う次第です。 突然で恐縮ですが、可能な範囲でご教示ください。文化系出身で数学を専門的に学んだことがありません。
任意の無理数の作図の方法に関して伺います。 無理数の発見がデカルトの解析幾何学に大きな役割を果たしていると思います。
1.任意の無理数は半円の直径に円周から垂線を下ろし、垂線により切断された直径の片側を単位としてその反対側の直径を整数倍にするとその推薦が下図のように無理数となります。1:a を任意の整数倍にすることにより任意の数の無理数を得ることができます。
2.この方法とは別に最初に 1:a を 1:1 にとり順次aを整数倍に大きくし、半円を順次大きくすることによっても任意の数の無理数を得ることができます。 
3.いずれの場合も要点は三角形が円に内接するということに依存するということです。
4.下記の文章はプラトンの『メノン』87a以下の翻訳です。この文章が任意の無理数の作図の具体例として解釈可能か否か、がお伺いしたい点です。
for example, [87a] whether a certain area is capable of being inscribed as a triangular space in a given circle: they reply--I cannot yet tell whether it has that capability; but I think, if I may put it so, that I have a certain helpful hypothesis for the problem, and it is as follows: If this area2 is such that when you apply it to the given line3 of the circle you find it falls short4 by a space similar to that which you have just applied, then I take it you have one consequence, and if it is impossible for it to fall so, then some other. Accordingly I wish to put a hypothesis, before I state our conclusion as regards inscribing this figure in the circle by saying whether it is impossible or not.
5. 4.が可能か否かはべつとして、上記、1.あるいは2.の方法を比例関係で説明する方法があるでしょうか。つまり、任意の無理数を作る方法を一定の連比あるいは級数として表現あるいは理解することは可能でしょうか。ギリシアで無理数が発見されていたことは知られていますが、その作図方法、さらに幾何学的な量を数学的な量として取り扱う方法を考え出していたと理解可能かが問題としたい点です。
突然で恐縮ですが、ご教示頂ければ大変有り難く存じます
端末IPこれはメールで来たものを,投稿者の許可を得て転載
日  付Sep 05 2004
お返事 田島さんへ
以下のご質問,僕のHPの中のトスムポストの掲示板にでよければ,解答させていただきます.
無理数というものに対する理解が,数学的に正しくなく,その点も込めてお答えします.
そのご返事があれば,ポストの方に書くことにしましょう.
ある種典型的な誤解例になっています.
やはり,ある程度は数学のちゃんとした学習をなさってからの方がよいと思います.

数年前,日本数学協会というものを作りました.
数学の素養がそれほど深くなくても,数学が好きだというだけで,数学について 皆で話し合ったり,議論できる場です.
興味を持っていただけるようなら,ぜひ入会して下さい.
会員には,協会のHPの高機能な掲示板で,話しあったり, 情報交換をしたりすることができます.
まず,僕のHPからもリンクしてありますので,日本数学協会のHPをご覧ください.

内 容
名  前田島
学籍番号横浜市
題  名任意の無理数の作図法(続き)
コメント 蟹江様
早速お返事いただきありがとうございます。
掲示板でよければ回答頂けるとの件了承します。
おたずねした件の背景を申し上げないため解り難かったことと思います。 元々は正方形の面積の二倍化という問題に始まります。
一辺2の正方形を二倍の面積にするにはその一辺をどの長さにしたらよいかという問題です(もちろん一辺が1という単位の長さでも同じですが)。解答は正方形の対角線ですが、これは整数あるいはその比では不可能で、無理数√によってしか表せません。(ちなみに任意の立方体[正四面体]の体積を、二倍、三倍、任意のN倍の正四面体にする方法(作図)はあるのでしょうか。)
考えた結果、結局問題なのは次の二点にまとめることができるのではないかと思います。
1. 無理数の発見が数学にとって持つ意味とは何か。
2. もう一点はプラトン『メノン』篇の先に引用した英文部分87a以下がある長さを1とした場合に、それを単位とした無理数の作図を円に内接する三角形の垂線という形で、作成可能である問いことを述べていると解釈することができるか否か、ということです。英文が手短でほとんど判別は不可能のように見えますが。
1.に関しては、整数あるいは整数の比で表すことのできない量を無理数の導入により比として表し算術的に計算可能となった、ということではないかと理解しています。線分、平面、立体それぞれ単位の異なる量をそれぞれ別個に演算するという次数一致の原則にとらわれず全てを数的関係として理解する道が開けたのではないかと思います。それは結局のところ整数あるいは整数の比として表すことのできなかった量を四つの量の初項を単位とする比例関係によりrationalなものとなす、ということではないかと思います。
2.については英文箇所が平方根の抽出方法を述べているものと理解できないだろうか、という問題です。正方形を等面積の三角形になおし、その三角形が円に内接する場合、というのを下図のような√aの抽出のことを述べている、という形で理解することが可能か否か、という問題です。
下記のように誤解をしているとのご指摘で、どの点が間違っているのか、ご教示頂ければ有り難く存じます。 また、上記二点に関してご教示頂ければ幸甚です。
端末IPこれはメールで来たものを,投稿者の許可を得て転載
日  付Sep 05 2004
お返事 忙しいので,ちょっとそっけない返事をします.
プラトンの時代の無理数の意義は有理数でない数の実在です(つまり,すべての数が整数の比では表わせないことです).
そして任意の自然数 n に対して,√n を作図することが出来ることを具体的に示したことです.(質問2は「その通り」です)
実際には無理数にもいろいろあって,√n のようなタイプの無理数は2次の無理数といって,重要ではあるが,狭いクラスの数にしか過ぎません.

お話しのことは,理解されている範囲内ではおおむね正しいと言えるでしょう. ただ一番の問題点は,無理数一般と,√n のタイプの無理数とを混同していることです.
立体に対しては3乗根を求めることになるので,一般には作図は出来ません.厳密の証明は易しくありませんが,易しいお話なら,解析教程上のI章1節をパラパラと見ては如何でしょう.

また,「無理数の発見が数学にとって持つ意味とは何か。」というタイプの質問は,どの範囲の,そしてどのレベルの数学にとってという限定をしない限り,質問自体意味をなしません. 質問を発した人の気持ちの有り様によって,問題の意味も答えの意味も変ってしまうような質問は,出来れば避けて下さい. 目の前に質問者がいれば,どのようにもお答えできますが(答えながら何が了解事項かを探っていくことができるので),文字だけで質問する場合には,そこの限定をクリアにしていただかないとお答えできません. 例えば,学生が同じ同じ質問をしたとしたら,勉強し直すように言うだけです.気分がよければ,学生に見合った本を紹介するかもしれません.
数学の勉強が進めば自然に解決するが,勉強をしないでは理解できるはずのない質問だとまでは言いませんが,......うーん,こういうことを言うから,数学者は世間から嫌われるんでしょうね.

しかし,「何故犬を英語でdogと言うか」という質問にどう答えたらよいと思いますか?  語源を述べるにしても,他の原語と比較するにしても,本質的な答えは得られないでしょうし,その種の議論は質問者の思いを越えて難しいものになっていくでしょう.

誰が訊いても誰が答えても,同じ質問には同じ答えが返ってくるべきだというのが,数学の世界の常識です.
そしてそのことを実現するために,数学者は悩み,苦しみ,喜ぶのです.
ある意味で,問題に答えることよりも,問題を発することの方が,深く重要な数学的営みなのです.

 内 容
名  前佐波 学
所  属鳥羽商船高専
題  名無理数の作図法について
コメント  上の方に書き込みのあった、横浜市の田島さんの「任意の無理数の作図法」について、コメントさせて戴きたいと思います。

○田島さんが作図法を問題としている「無理数」が、おおむね「平方根」を意味していることについては、蟹江先生も指摘しておられますので、ここでは、プラトンの時代を問題とするとき、「無理 ”数”」というものを対象とすること自体が一種の時代錯誤になってしまう、ということを中心にコメントしたいと思います。

○プラトンの頃のギリシア世界では、今の私たちが漠然とイメージする「数学」に相当する学術分野が、大きく二種類に区別されていたようです。

 以下、適切な日本語の訳語が定着していないので、あいまいなお話になりますが、二種類の「数学」とは、(1)「技術」の分科としての計算術の類(現在の日本でいう「算数」的なもの。プラトンは、ロジスティケと呼んでいますが)と、(2)「学問」の分科としてのマテマティケ(後代、算術・幾何・音楽・天文の四科に集約されていく、「量」に関する学問の総称。もちろん、mathematicsの語源)、です。

○ここでいう「量(ポソン)」は、アリストテレスによれば、本性的に個別である構成要素に分割されうるようなもので、(1)数えらうるれるときには「多さ プレトン」といわれ、(2)測られるうるときには「大きさ メゲトス」といわれます。「多さ」とは非連続的な部分に分割できるもの、「大きさ」とは連続的な部分に分割できるものを意味するといってもよいようです。
 特に、1つの方向に連続な「大きさ」は「長さ メコス」、2つのときは「広さ プラトス」、3つのときは「深さ バトス」と呼ばれます。そして、”限りある(範囲が確定的な)”「多さ」が「数 アリトモス」であり、”限りある”「長さ」が「線 グラメ」、「広さ」が「面 エピファネイア」、「深さ」が「体 ソーマ」となります。(『形而上学』1020a)

 「数アリトモスとは、単位モナスから構成される多さである」という有名なユークリッド原論第7巻の定義も、同趣旨のことと思われます。

 ちなみに、この「数 アリトモス」(離散量)についての学問分野が「算術 アリトメティケ」であり、「線」や「広さ」に関するものが「幾何 ゲオメトリア」であることも、周知のことでしょう。

○プラトンにとって、少なくとも学問の対象としての「数」は、上記の意味での「数 アリトモス」であり、この「数」には、無理数はもちろん、分数すら含まれていないはずでした。
 実際、このあたりの事情は、単位を分割しようとする者を憫笑する専門家への言及(『国家』525D)からもうかがえます。

 実務的(応用的)な「計算術」においてなら、いわゆる「分数」を扱うことは当然だったでしょうが、実務的な場面で「無理数」が登場することは、(現在においてすら)想定できないと思われます。

○ここでは、「無理数」が「数」として認知されていく過程を話題にするつもりはありませんが、そのあたりの事情を一瞥だけしておきましょう。

 まず、上でみたように、ギリシア数学(マテマティケ)の最大の特徴は、「多さ(離散量)」と「大きさ(連続量)」を明確に区別するところにあります。
 この態度を養ったのは、連続量において、「非共測量=共通の尺度で測ることのできない量」(共通の単位の自然数倍としての表示をもたない連続量の組)の発見だったと言われています。(正方形の一辺と対角線、正五角形の一辺と対角線、等がその例です。歴史的にも、このいずれかが最初に発見された例だろうといわれています。)
 もちろん、この「非共測量(通約不能量ともいいます)」が、今でいう「無理数」の祖になるわけです。

 ギリシア系数学の遺産を継承したアラビア数学では、離散量と連続量の統一をめざし、双方に適用可能な「操作」を対象とするアル=ジャブルの法(代数)を発達させました。 次いで、「記号化」の革新をなしとげた西欧数学の下、射影幾何系と数体系の同一視が完成し、さらには、数学の対象としての「構造」概念の析出へと結実していきます。

 そして、四則演算といった代数構造、大小関係という順序関係、連続性に関する位相構造といった、何種かの構造を備えた数学的な対象としての「数」が認知され、その「数」の中で「無理数」も市民権を得ることになりました。
 プラトンの時代からみれば、つい最近のことです。

○長々とした話になって恐縮ですが、これから、田島さんの二つの質問にコメントしたいと思います。

○(質問1)「無理数の発見が数学にとって持つ意味とは何か」について;

 上記の経緯を考えれば、「無理数」は「発見」されたというより、再解釈された、とでもいう方がふさわしいかと思います。質問の趣旨を勘案し、「非共測量の発見が数学にとって持つ意味は何か?」と読みかえるなら、次のように答えられるかと思います。

 先に紹介したように、古代ギリシア以降の数学の主な流れは、「離散」と「連続」の統一を志向する動き、という見方ができます。そして、非共測量発見の最大の意義は、こうした数学の流れの源になったことにあるだろうと思われます。

 さらに大風呂敷を広げさせてもらうなら、「離散」と「連続」の対立は、古代ギリシア自然哲学から現代物理学まで連綿と続く「原子論的世界観」と「波動論的世界観」の対立と軌を一にしていることを考え合わせるとき、「非共測量の発見の意義」は世界の量的認知の方法を止揚するための契機を与えたこと、という言い方も可能かもしれません。

○(質問2)「プラトン『メノン』篇の87a以下の部分が、無理数の作図を円に内接する三角形の垂線という形で作成可能である、ということを述べていると解釈することができるか否か」について;

 「無理 ”数”」をプラトンが考えたはずがないという意味で、「解釈できない」といわざるをえないでしょう。 メノンの該当箇所で述べられているのは、ギリシア数学において頻出する、いわゆる「面積あてはめ」の議論だろうと思われます。
 こうした観点からの詳細については、ご存知かと思いますが、岩波文庫版の『メノン』の補注に、主要な解釈および文献が紹介されています。

○最後に、「非共測量」、「面積あてはめ」、あるいは、「倍積問題」等を含むギリシア数学史の知見につきましては、『ユークリッド『原論』の成立』(斎藤憲 著、東京大学出版会)を参照させて戴きました。

 こうした問題に興味がおありでしたら、同書および同書に紹介されている文献等を参考にされるとよいのではないかと思います。

 内 容
名  前まり
所  属女子大学生
題  名球について
コメント「パチンコ玉を球の例にしたいのですが、本当に完全な球か自信がありません。」とある実習生に尋ねられた場合どのように答えたらよいのでしょうか?
球の概念は満たしていると考えるのですが…
日  付Fri Nov 19 23:59:25 2004
おこたえ 何事にも,「完全」ということはありません.だから,完全な球ではありません.実際のパチンコ玉には,店を表わす刻印があることが多いので,球とは言えないというのが正しい答えです.
 しかし,完全な球に近いものとして,パチンコ玉を挙げるのは,そんなに悪いことではありません. 球に非常に近いので,転がるときや撥ねるときにランダムになるのです. 近似として非常によいというのが,実際的な答えですね.
 実習生に答えるというのは,どういう状況で起こるのか,ちょっと気になりますね.あ,実習生はあなたで,実習に行った先の生徒に訊かれたら,という意味なのですか.
 あなたの言う「球の概念」とは何なのかを,書いてもらえると,もう少し突っ込んだお答えができるのですが.

 内 容
名  前かなこ
所  属女子大数学科
題  名表現行列がよくわかりません。
コメントベクトル
  |0  |  |a|    |1/√3|
u=|1/√2 |,v=|b|  w=|1/√3|
  |-1/√2|  |c|    |1/√3|

がR³の右手系の正規直交基底をなすとする。
(1)a,b,cを求めよ。
(2)ベクトルu,vが張る平面への正射影をfとする。基底u,v,wに基づくfの表現行列、および標準的基底e₁,e₂,e₃に基づくfの表現行列を求めよ。
(3)原点を通りベクトルwに平行な直線を回転軸として2π/3回転する写像をgとする。ただし、回転はベクトルuをベクトルvに重ねる方向を正とする。基底u,v,wに基づくgの表現行列、及び標準的基底e₁,e₂, e₃に基づく表現行列を求めよ。

(1)は自分で解いてみましたが(2),(3)がわかりません。
よろしくお願いします。
ちなみに、(1)の答えはa=±2/√6、b=c=±1/√6で正解
でしょうか?
お忙しいと思いますがよろしくお願いします。
日  付Wed Jan 12 00:56:29 2005
おこたえ この種のことはこのページではお答えしていないということを,どこに書いておいた筈ですが.
これを答えるなら,それは家庭教師のバイトになってしまいます. このページは完全にヴォランティアの公益???なわけです.
教科書を見て,考えて下さい.考えて分からないようなことを課題に出すようでは今時教師はやっていけません. だから,きっと分かります.

 内 容
名  前\mathfrak{N}
所  属東京大学前期教養学部
題  名デュドネの綴りに関して
コメント>>デュドネ、ジャン(Jean Alexandre Eugene Dieudonnee, 1906.7.1-1992).

デュドネって"Dieudonne"ですよね。
Opacで調べたところDieudonneeではhitしなかったので。。。
人名索引の綴り間違ってませんか?
日  付Mon Jan 24 20:40:11 2005
おこたえ  はいその通りです.解析教程で人名索引を作っているときに,最後 e の上のアクサン(\')をつけるとき,一斉にやったのですね.最初どこかでやって後はコピー&ペースト.そのとき\'ではなく\'eをやったわけです.で,前にあったeの消し忘れです. Jean Alexandre Eug\`ene Dieudonn\'eが正しいですね.他の本にあるのもその間違いを引きずっていたので,次の刷りからは直しておきます.
これからも気がついたら宜しく.

 内 容
名  前うさみ
所  属夜間定時制高校教員
題  名こんなこと知られてますか
コメント整数m,nからa^2+b^2=c^2を満たす整数a,b,cを求める公式はよく知られていますが、
逆に、
a^2+b^2=c^2を満たす整数a,b,cから、その整数m,nを特定する方法と、
その初等的な証明は、よく知られたことでしょうか。
日  付Mon May 9 11:35:19 2005
おこたえ  はいとっても良く知られていますが,必ずしも特定は出来ないのです.つまり,一通りではないということですね. これは, 2000年以上前から知られていると言って良いでしょう. したがって,本質的には同じだけれど,見た目には異なるいろんな方法がいろんな本に書いてあります.
宣伝になるのですが,僕の関係した本の中にも幾つかある筈ですね. たとえばトスの数学名所案内上など.ついでに他のことも勉強するといいでしょう.他ではクーラント・ロビンス『数学とはなにか』(岩波書店)がいいでしょう.

 内 容
名  前亀仙人
所  属横浜創学館高校3年
題  名弧度法・度数法の歴史
コメント弧度法・度数法はいつ、誰が、どこで考えたものなのですか?
日  付Tue Aug 9 11:01:37 2005
お答え過去問に同じものがあって,そこで答えていますので,探して見てください.
日  付Wed Aug 20 2008


 内 容
名  前山田あやか
所  属roto666@yahoo.co.jp
題  名食塩水の濃度
コメントAとBの二種類の食塩水があります。もし、AとBを3:2の割合で混ぜると10%の食塩水ができ、1:4の割合で混ぜると9%の食塩水が出来るそうです。Aの濃度は□%です。答えは、11%です。
なるべく簡単な解き方を教えてください。
小6です。よろしくお願いします。
日  付Mon Apr 30 13:43:35 2007