ホームぺージ
掲示板メニュー
TOSMポスト・質問集(1-5)
第5回TOSMポスト・質問解答集
現在の質問箱

このページは10分ごとに自動更新されます。

第6回TOSMポスト・質問と解答

1999年までのものを,一旦第6回とすることにしました. これについては,取り合えず回答をつけていきます. 必ず2週間のうちには(て?今日はいつ?) 「所属欄」が「学籍番号欄」になっているのは,プログラムの都合です.ご容赦下さい。
内 容
名  前Honoo Nagaoka
学籍番号honoo@kiwi.co.jp
題  名円周率π
コメント円周率πの数を教えてください。(40桁位までで結構です。)
3.141592までは覚えてるんですけど。

端末IPIP-ADDR:133.67.86.154
BROWSER:Mozilla/3.01Gold [ja] (Win95; I)
日  付Mon May 12 18:05:13 1997

内 容
名  前大西元樹と西澤陽子
学籍番号三重大学教育学部数学科4年
題  名円周率のお返事
コメント蟹江教官にかわり、
上の質問にお答えします。
円周率 π=3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51871 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 ・・・・・という感じです。覚えたかったら、おぼえてね。
端末IPIP-ADDR:133.67.86.148
BROWSER:Mozilla/2.01I [ja] (Win95; I)
日  付Fri May 16 16:18:09 1997

内 容
名  前金岩 稔
学籍番号三重大学生物資源学研究科
題  名質問です
コメント数学教育に従事している者ではないのですが、長年疑問に思っていたことがありまして、もし良ければお答えいただきたいと思います。
電車などに乗ります時に切符を買いますと、その切符に連番の数が振られていることが、良くあります。
で、その桁数は4桁であることが多いと思うのですが、電車に乗っている間暇なもので、昔からよくこの数字を使い足したり引いたりかけたり割ったりを、順序を並べ替えるのも有りで行い10を作るということをやることがあります。

例えば5246という数字がありましたら(6-5+4)*2=10といった風にです。
で、何回もこういった事を行っていますとある法則みたいなのがあるような気がします。
というのは4つの数字が、それぞれすべて異なる数字で、且つ0が含まれていないのであるなら、かならず10が作れるのではないか?ということです。
少なくとも、私は反例を見つけておりません

で、こういった事は数学的に証明できるのでしょうか?
お答えいただけると幸いです

それでは失礼いたします


端末IPIP-ADDR:133.67.100.71
BROWSER:Mozilla/3.01Gold [ja] (Win95; I)
日  付Tue Aug 5 15:06:27 1997
暫定解答もちろん、成り立つのなら証明できます。今とても忙しいので、少し暇になったら、考えてみます。それまでに分かった人がいたら、この下のボードに書きこんでください。
 少しやってみました。幾つかパターンが見つかりましたがあまり多くのケースに適用できません。ちょっと考えると、9×8×7×6通りもありそうで、このままでは大変な感じがしますが、よく考えれば126通りしかないことが分かります。この辺りの事情は、掲示板とは別に書くつもりです。
 126通りしかないのなら、すべてやっても大したことはなく、成り立つことが確かめられます。その結果は手元にありますが、それをそのまま(ズラズラと)書いても面白くないでしょうから、これをインターネット上のゲームにし立てるように、ある学生さんに話しておきました。最低限の形がここにあります。しかし、信用問題もあるのでズラズラとすべての場合の答えを書いておきました。これは、新しいのを見つけるごとに更新しますので、ここにないものを見つけた人はご一報ください。
 うまい形に仕上がれば、彼の卒業研究の一部になるでしょう。部分的には出来たのでリンクします。(彼が卒業してもう何年もになります.ですから,彼へのメールは届きません.僕も彼がどうしているのか知りません.どうしてるんでしょうね.)
 126通りのうちどれ位がパターン化出来るか、少し暇なときに考えてみますが、統一的な方法は期待できません。と思っていましたが、原理的に考えるとある程度追い詰めることができます。この件については、三重県高数研の会誌に書きかけています。まとまって、ここにアップできる形ならそうすることにします。

内 容
名  前J.Saitoh
学籍番号js455217@edu.t.soka.ac.jp
題  名関係なくてすいません
コメント面積の"S"の語源を教えて下さい。
端末IPIP-ADDR:150.37.133.237
BROWSER:Mozilla/3.01Gold [ja] (Macintosh; I; PPC)
日  付Mon Oct 27 20:13:18 1997
コメント関係ないことはありませんが、質問はTOSMポスト掲示板にお願いします。ポスト掲示板に移しましたが、質問者が分からなくなるといけないので、年内は元の掲示板にも掲載しておきます。
 面積だから「S」と言われても、多分分かりません。多分面積だからではないのでしょう。
 積分という言葉と記号は、ライプニッツとベルヌーイによって作られたのです(『解析教程 上』を見てください。)。
そのとき、積分の記号は「和 Sum または Summation」の「S」をもじったものにしたのです。
面積は積分で計算されることが多く、積分は「S」と書くことが多い。
ということから、面積を表すのに「S」と書くことが多くなったのではないでしょうか。
ちなみに、面積は「S」と書くのだという規則はありません。

内 容
名  前草薙
学籍番号京都大学工学部
題  名素朴な質問
コメント0の0乗はやはり、1なのでしょうか。
もしそうでなければ理由は何でしょうか。
私は、y=xxのx→0の極限においてy=1という
結論に達したのですが。専門外なので詳しいことは分かり
ません。是非、ご教示下さい。
端末IPIP-ADDR:130.54.110.71
BROWSER:Mozilla/3.01 (Win95; I)
日  付Sat Sep 13 15:54:35 1997
解  答質問は、出来ればTOSMポストの方にお願いします。質問はTOSMポスト掲示板にお願いします。ポスト掲示板に移しましたが、質問者が分からなくなるといけないので、年内は元の掲示板にも掲載しておきます。
あらゆる四則演算の規則や指数法則を保つようには定義できません。 形式的には 0-n=1/0n となりますが、1を0で割ることは許されていません。強引に、00=01-1=01/01=0/0 としても、不定だということになります。
 後は、何かの意味を持ってこの不定なるものの一つを特定できるかということが考えられるのですが、その意味では答えは 1 とするのが自然だということは言えます。
 答えは 1 とするのが自然だということしかできません。それ自体の定義が分からなくなれば、極限として意味を持つかどうかを考えます。極限としての意味の持たせ方に色々あるような場合は問題が複雑になりますが、質問のような場合は 1 として矛盾を起こさないと思います。
 y=xxのx→0の極限をどう計算するかも色々あるとは思いますが、対数をとって、 log y = x log x としてx→0の極限をとれば 0 になり、その指数関数の値という辺りが一番落ち着いた気分ではないかと思います。
実は、対数を取るところで暗黙のうちに、x>0 で実数ということが仮定されていて、その意味での極限を取っているのです。 そうでないと、この極限は存在しなくなります。 また、そういうことなら、x>0 に対して、x0=1 であるので、その極限としたのだといっても良いでしょう。 ただ、x>0 に対して、0x=0 だから、その極限なら 0 ではないかという議論も出来ます。
結局、知っている規則のすべてを満たすようにはできないのだから、矛盾を導くことも容易で、「一般には 00 を定義することはできないが、 極限として、00=1 を正当化することもできないわけではない」というあたりになるのでしょうか。 (1997.9.13、1998.3.28修正)

内 容
名  前Keiji Nii 新居啓二
学籍番号nii_ke@kow.khi.co.jp
題  名古典力学の数学的方法を理解するに必要な数学分野の推薦図書
コメント初めまして、機械メーカに勤める40代の者です。専攻は機械工学です。再び数学の勉強したくなりました。当面の目標は2年間でアーノルド「古典力学の数学的方法」を理解できる学力に達することです。現在、やっかいな大学入試問題はのぞき高校数学の基礎はほぼ理解できます。ただし大学時代はあまり勉強しませんでしたので大学課程の数学を勉強し直する必要があります。目標に達するのに必要な数学分野の推薦図書を紹介ください。微積分用としては「解析教程・上下」は購入しました。
        以上よろしくお願いします。
端末IPIP-ADDR:202.232.202.67
BROWSER:Mozilla/3.01 [ja] (Win95; I) via proxy gateway CERN-HTTPD/3.0 libwww/2.17
日  付Tue Dec 16 16:40:14 1997
回  答  アーノルドの本はあまり予備知識を必要としないように書いてありますが、それでも以前教養で教えていた程度の数学は 分かっているほうがいいでしょう。
 『解析教程』を買っていただいたようで、微積分はほとんどそれで十分ですが、多変数の変数が大きくなったときの扱いが少し足らないかもしれません。 それとも関連するのですが、線形代数の初歩的な部分も知っているとよいでしょう。 線形代数の本も色々ありますが、どれでも良いとしか言い難いですね。 目安としては、ここに私が講義で使ったことのある教科書を挙げてありますので、その中から選ばれたら如何でしょうか。 また「ほんの本のページ」にある本も参考にしてください。
 あと知っていれば、知らないよりも良いという知識には、「多様体論」「常微分方程式論」がありますが、アーノルドの本の中で学ばれればよいかと思います。アーノルドかポントリャーギンの「常微分方程式」は横目に見ながらというのもよいでしょう。
 なお、アーノルドの『古典力学の数学的方法』の本文は不滅の輝きで、内容が古びることもなく、予備知識もほとんど要りませんが、附録部分は当時の最先端の結果ですので、現在となってはいささか古くなった部分もありますし、少なからぬ予備知識が必要な部分もあります。
 取り敢えず、本文を読まれたらよいと思います。そして必要なだけ、微積分と線形代数の教科書を見られたら如何でしょう。準備のための勉強をするより、学びながら必要な知識・技術を補充するという方が勉強に対する気持ちが持続しやすいと思います。 日暮れて途遠く、脚支度よりまず歩きはじめることだ、と思います。
 楽しみながら、頑張ってください。
追  伸多様体論についてはJ.ミルナー「微分トポロジー講義」を出版しましたのでご覧ください。
1999.1.8

内 容
名  前大野 泰雄
学籍番号電子文化研究所
題  名記号の読み方と出典
コメント「家庭電器」に関する通信教育を長年事業として進めております。

下記の記号のことでお教えいただけば幸いであります。

1.「∝」正式の用語名称をお教えください。

2.この記号の出典は、何でしょうか?
端末IPIP-ADDR:133.67.86.154
BROWSER:Mozilla/3.01Gold [ja] (Win95; I)
日  付Tue Feb 17 18:37:57 1998
回 答これに答えるだけなら簡単なのだけど、調べてみたら面白いことが分かったので、いつものように三重県高数研の会誌に書く原稿用には書きはじめて、書き終わったら、dviファイルをここに貼っておくつもりです。しかし、今はとても忙しい時期で、完成には少し時間がかかります。乞うご期待。
 数式が多いのでTeXに掛けるのだけれど、dviファイルのビューワーを持っていない人のためにどうしたらいいのか分からない。

内 容
名  前小屋敷 真毅
学籍番号南牟婁郡紀和町立入鹿中学校
題  名負の数×負の数=正の数
コメント 負の数×負の数=正の数を証明できるものですか。
中学生に分かるような程度で証明してくれると助かるのですが・・・・
よろしくお願いします。
端末IPIP-ADDR:203.141.1.5
BROWSER:Mozilla/2.0 (compatible; MSIE 3.0; Windows 95) via proxy gateway CERN-HTTPD/3.0 libwww/2.17
日  付Thu Feb 26 23:42:03 1998
回 答 小屋敷君は出来の良い方の学生だったので、この質問をあるパーティーで聞いたとき、冗談なのだと思っていた。今年の卒業研究のセミナーの学生の練習のため、ある場所に「算数・豆事典]というのを作ってあって、ある学生が数学的に証明できると書いてあるのを見たらしい。セミナーの学生のページの入り口には内容については信用せず、読者も教師になって彼らを鍛えるために質問なり投書なりをしてくれるように書いてあるのです。それで、小屋敷君は彼を鍛えるために言ってくれているのだとばかり思っていました。
 さて、数学的証明ということですね。数学をちゃんとやれば分かると思うけど、「負の数」の定義がないと証明できません。中学生にとっての障害は、何より「負の数]の存在であり、実存性、また実用性なのです。今の場合、定義してしまえばほとんど明らかになってしまいます。
 今、大学入試の二次試験の採点を少し休憩して研究室に帰ってきたところなので、これ以上は暇がありません。採点の主任の恐ろしい顔が浮かんできます。  来週まで待ってください。それまでに、出来れば、中学生でも、どんな中学生、またどのような知識を持った中学生に、というデータがあれば入れておいてください。それによって少し答え方が変わりますので。

内 容
名  前小屋敷 真毅
学籍番号紀和町立入鹿中学校
題  名負の数×負の数=正の数
コメント負の数×負の数=正の数を説明(先日は数学的に証明と書きましたが、)してください。
中学校1年生の教科書に出てくるのですが、具体例を伴うやつ(2分前には東に何メートルのところにいたから・・・)は難しいと思います。
かといって、
(ー2)×2=ー4
2増える
(ー2)×1=ー2
2増える
(ー2)×0=0
2増える
(ー2)×(ー1)=

というのも証明とも言えないし・・・
ということで、中学1年生の正の数負の数の掛け算を教えれるような形で示していただけると完璧です。よろしくお願いします。
端末IPIP-ADDR:203.141.1.5
BROWSER:Mozilla/2.0 (compatible; MSIE 3.0; Windows 95) via proxy gateway CERN-HTTPD/3.0 libwww/2.17
日  付Wed Mar 18 19:47:23 1998
回 答 困りましたね。実はこれは証明そのものなのですよ。ただ、表現方法として少し荒っぽいけれど。だから、どのように言い換えても、本質的にはこうやるしかないのです。
 0以上の整数の全体Nは、加法半群を作り、1以上の整数の全体N+は乗法半群を作ります。加法に関して群になるような最小の拡張が整数全体Zでしたね。ここにも乗法を拡張したいわけです。
 このとき、Nで成り立っていた乗法に関わる法則を保ったまま拡張したいというわけです。 すでに、
a×0 = 0
であることは分かっていますね。(証明したければ、下にやるのと類似にすればよい。)
 しかし、乗法について群にしようというのではないのだから、結局本質的に問題になるのは、分配法則
a×(b+c) = a×b + a×c
です。 そこで、c として -b を取るのです。すると、
0=a×0 = a×(b+c) = a×b + a×c= a×b + a×(-b)
となるので、
a×(-b)= - (a×b)
となります。同様にやってもいいし、交換法則が成り立つようにするからといってもいいのですが、
(-a)×b= - (a×b)
も成り立ちます。さて、上の分配法則で a に -a を代入してみましょう(嫌なら、a=-d としてもよい)。すると、
(-a)×(b+c) = (-a)×b + (-a)×c = -(a×b) + (-(a×c)) = -(a×b) -(a×c)
となります。ここでまた、c として -b を取るのです。すると、
0=(-a)×0 = (-a)×(b+c) = (-a)×b + (-a)×c=-(a×b) +(-a)×(-b)
となるので、
(-a)×(-b)= a×b
となるのです。分かりますね。
 そして、この証明が、君が上で書いている教科書の証明と本質的にはまったく同じであることが、分かりますね。
 本質的には、正と負だけしかない世界で掛け算を定義するのなら、正×負 を正にしたっていいのですが、正と負をつなぐものとして0があることから、これは負にしないわけに行かなくなるのです。同じ事情で、 負×負 を正にしなくてはいけないことになるのです。
 負×負 を正にしないとすれば、どうしたらいいのでしょう。負にするのですか? 正と負とそして0しかない世界の中で、足し算と引き算と掛け算を、知っている計算規則を守るようにしたければ、正にしないと具合が悪いのです。
 どうしても嫌なら、負×負 の結果を正でも負でも(0でも)ない別の数の世界に持っていくということならできないことではありません。 しかし、そうなると、負が幾つ掛かったかをいつも覚えておくような数の世界が出来てしまいます。これじゃあ、とても大変なのです。
 つまり、計算に便利なようにしたら、うまく小さくまとまったきれいな(?)世界ができるので、それで計算しようじゃないか、現実に適用してみてうまくいかないこと、不都合なことが起きたなら、ま、そのとき考えよう。そういう、御都合主義の姿勢なのだといったら、生徒は却って混乱するでしょうか?
 そこは、小屋敷君の腕で、何とかすることができるでしょう。ね。
 まあ、上では一般に a,b,c でやりましたが、これに数字を入れる、1,-1,2,-2くらいで例示すれば、十分生徒には分かるだろうと思いますよ。
 それでも駄目なら、もう一度、書き込んでみてください。(1996.3.23)

内 容
名  前近藤 博文
学籍番号神奈川県立吉田島農林高等学校教諭
題  名0の0乗って、考えちゃあいけないのかなあ?
コメント0の0乗って、1なんですか?よく生徒から疑問がでる話題です。
昔、学生時代に石谷先生の「イプシロンデルタに泣く」という本を読んで、それらしきことが書いてあった記憶があるのですが、残念ながらその本は購入しなかったので、自分でいろいろと考察してみました。その結果、現在の高校数学は扱う範囲が限定されているので、立場によっては、0の0乗は1または0としても指数法則に矛盾しないことがわかりました。私の考察では、0のべきとしてはすべて0とするのが自然だという結論です。しかし、この場合、たとえばxのx乗をxを正の方向から0に近づけたとき、その極限値が1であることから、関数x^xはx=0で不連続になり、あまり美しくない事実です。このように不定型として0^0型になる極限は一般には様々な値をとることはすでに知られていると思いますが、このたび、ちょっといい例を考えつきました。私は書物を調べるよりも、自分で考えることが好きな質で、これらの考察も落とし穴にはまっているかもしれません。どなたか、0の0乗問題について、すでに知られていること、定義するとこんなことに矛盾するんだ、などご存じでしたらお教えください。また、それらを扱っている本などありましたらお教えください。
端末IPIP-ADDR:210.159.66.16
BROWSER:Mozilla/3.01Gold [ja] (Win95; I)
日  付Sat Jul 25 04:57:19 1998
返  事幾つか上の,草薙さんの質問とその回答をご覧の上の質問だと思っていて,それが分かった上でなら,議論や質問ではなく,立場の表明だと思っておりましたので,返事を書きませんでしたが,次にも似たような質問があり,もしかしてとは思いましたが,無視をしていたわけではありません。
 とりあえず返事は次の質問と同じということにしておいて下さい。
1999.1.8

内 容
名  前近藤 博文
学籍番号神奈川県立吉田島農林高等学校教諭
題  名0の0乗を定義すると、何に矛盾するのですか?
コメント指数定理を拡張すると、よく生徒からでてくる質問です。しかし、今の指導要領は小間切れなので、例えば負べきを考えないのであれば0^0=1または0と定義しても、指数法則には矛盾しません。負べきを考えると、0^0=0と定義するしかなくなります。一般には0^0は極限値の不定形として、種種の値をとり得るので定義を避けているのだろう、というくらいの認識しかないのですが、「0のべきは、すべて0」と定義すると、何かとんでもない矛盾に到達するのでしょうか?
端末IPIP-ADDR:210.159.66.16
BROWSER:Mozilla/3.01Gold [ja] (Win95; I)
日  付Sat Jul 25 05:25:15 1998
返  事幾つか上の,草薙さんの質問とその回答をご覧の上の質問でしょうか?その上での質問だとすれば,僕の答え方がいけなかったようです。0^0というものは定義されません。
このあと,「もの」とは何かという議論をなさりたいのでしたら,もう一度,書き込んでください。
1999.1.8

内 容
名  前認定講習'98j
学籍番号三重県人
題  名図形、関数
コメント点がいっぱい集まって線になるという部分で(比例の教科書の記述)で

連続であることがあやふやなままごまかして教えています。関数導入時
にどうおさえるべきか、また、図形のところで、点、線、面のつながり
においても敷き詰めのイメージをもたせようと思いながら教えています
うまく教える方法を紹介してください。
端末IPIP-ADDR:133.67.6.253
BROWSER:Mozilla/3.04 (Win95; I)
日  付Wed Aug 12 12:16:00 1998
返  事このような場所ではお答えしにくい問題です。お悩みの問題点をもう少しクリヤーにしていただけないでしょうか.そこがクリヤーでないことが最大の問題であることが多いのです。
あまり億劫がらずに直接連絡をして下されば,問診の上,お答え出来ることはお答えしたいと思います。
1999.1.8

内 容
名  前森本茂樹
学籍番号(有)フリーダム
題  名サイコロを振った時の確率の計算方法
コメントm個のn面体サイコロを振った場合の 各値の確率を求める速い方法を教えてください。
すべて数え上げる方法はわかるのですが、mが大きくなると m^nが膨大になり
コンピューターを使っても非常に時間がかかってしまいます。
端末IPIP-ADDR:202.235.206.146
BROWSER:Mozilla/4.5b1 [en] (Win95; I)
日  付Mon Sep 14 13:22:40 1998
返  事この種の関数の計算に時間の掛かること自体はどうしようもないことです.数え上げる方法はすべて分かっているとおっしゃるので,何かしらの関数か,組合わせ論的な式になっていると思います。
そこで計算はmが無限に大きくなる漸近挙動なら分かりますが,途中の大きな m に対する計算は計算理論の中でも,困難な部分なのです。
これ以上はもう少し質問の意味を確定していただかないと、答えられません. もちろん,そうしていただいても答えられない問題かもしれませんが。
1999.1.8

内 容
名  前高島 義則
所  属上野農業高校
題  名面積が整数の三角形
コメント面積が整数の整数辺の三角形はすべて分かっているのでしょうか?
端末IPIP-ADDR:133.67.86.154
BROWSER:Mozilla/3.01Gold [ja] (Win95; I)
日  付Fri Oct 23 17:33:47 1998
返  事分かっているかどうかは知りません.これを考える気分のときに考えて見ましょう。今分かることだけ。
整数辺の直角三角形はすべて分かっているし,しかも直角をはさむ辺のどちらかは偶数なので,この場合はいいですね。
だから有理辺の直角三角形も分かるのだけれど,その中で面積が整数のものを見つけるのは大変難しい問題なのです。
ですから,感じとしては,完全な条件を求めるのは難しいかもしれません。 必要なだけ十分な,十分条件を見つけるという気分の探し方をするほうがよいかもしれません.
1999.1.8

内 容
名  前田中カフェオレ
所  属
題  名整数の問題
コメントこんにちは。初めて投稿する田中カフェオレです。高校三年です。どうぞよろしく。
 今、卒論で数論についてやっているのですが、どうしても分からないことがあるので、是非教えていただきたい。(問題がややこしいので、カッコで区切ってあります。)

 「ふたつのとなりあう自然数の積から1を引いた数」を割り切るような「大きい方の自然数(となりあう)より大きな素数n」は、すべての「1の位が1か9の素数」でありえる。

 なるべく初等的に教えてください。またこのようなnの決定方法があったら、教えてください。お願いします。
端末IPIP-ADDR:202.224.213.143
BROWSER:Mozilla/3.0 [ja] (Win95; I)
日  付Tue Dec 29 17:59:44 1998
返  事質問の意味がよく分からないので,少し誤解しているかもしれないけれど,問題を次のように解釈して見ました。
「(k-1)k-1 の素因数で,k より大きいものの中に必ず,1の位が1または9のものがある」
まあ,やってみよう.
例えば,k=4 なら, 3×4-1=11 は素数だからOK.
k=5 なら, 4×5-1=19 は素数だからOK.
k=6 なら, 5×6-1=29は素数だからOK.
k=7 なら, 6×7-1=41は素数だからOK.
k=8 なら, 7×8-1=55=11*5 で 11 は素数だからOK.
k=9 なら, 8×9-1=71 は素数だからOK.
k=10 なら, 9×10-1=89 は素数だからOK.
k=11 なら, 10×11-1=109 は素数だからOK.
k=12 なら, 11×12-1=131 は素数だからOK.
k=13 なら, 12×13-1=155=5*31で,31は素数だからOK.
k=14 なら, 13×14-1=181は素数だからOK.
k=15 なら, 14×15-1=209=11*19で,19は素数だからOK.
k=16 なら, 15×16-1=239は素数だからOK.
k=17 なら, 16×17-1=271は素数だからOK.
k=18 なら, 17×18-1=305=5*61で,61は素数だからOK.
k=19 なら, 18×19-1=341=11*31で,61は素数だからOK.
k=20 なら, 19×20-1=379は素数だからOK.
k=21 なら, 20×21-1=419は素数だからOK.
k=22 なら, 21×22-1=461は素数だからOK.
k=23 なら, 22×23-1=505=5*101で,101は素数だからOK.
k=24 なら, 23×24-1=551=19*29で,19,29は素数だからOK.
k=25 なら, 24×25-1=599は素数だからOK.
k=26 なら, 25×26-1=649=19*29で,19,29は素数だからOK.
これはきりがない.何か規則が見つかるだろうか?
だがちょっと待て,
k=3 なら, 2×3-1=5 は素数で,成り立たない.
k=2 なら, 1×2-1=1 は素因数を持たないので,成り立たない.
これは困った。成り立たないのだろうか?
k=2,3 だけが例外で,kが4以上なら成り立つのだろうか.
実は,そうなる。
しかも,上に書いた計算以外の計算はしないで,証明が出来る。
しかし,少し概念が必要になる。
そこで,質問です.できるだけ初等的にという注文ですが,君はどれくらい知っているのですか?
何かの本を読みながら勉強をしているのか,一定の予備知識を誰か(先生)に教えて貰っているのか.それとも何も見ずに,独力で考えているのか?それを教えて下さい.
この後のことは,その返事の後で。
もちろん上に書いただけで他の計算は要らないというのは、すごいヒントなわけで, それだけで自分で考えてわかったら、「分かりました」という返事を書き込んで欲しい。
もうひとつだけ,言うことがあります。君の名前はカフェオレなのですか? 人にものを訊ねるのに,覆面をかぶっているのは失礼というものですよ。
他の人に知られて困るのなら,僕に対してだけは別便のe-メールで名乗って下さい。
1999.1.8

内 容
名  前山下英樹
学籍番号三重大学教育学部附属中学校
題  名等脚台形の定義を教えてください。
コメント先日中2の授業中、
「等脚台形の定義は?」という質問を生徒から受けました。
手元にあった本で、調べましたが、載っていなかったので
「四角形ABCDで、AD//BC,AB=DC と思う」
と答えたのですが、これは正しいのでしょうか?
これが正しいとすると、
 (平行四辺形)⊂(等脚台形)⊂(台形)
となりますが、これで正しいのでしょうか。
 
 よろしくお願いします。

  yamasita@fuzoku.edu.mie-u.ac.jp
端末IPIP-ADDR:133.67.92.1
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 4.01; Windows 98)
日  付Thu Jan 21 20:16:22 1999
コメントさあ,どうでしょうね。多分それでいいんじゃないでしょうか.純粋に数学の問題としてなら,その通りという答えしかないけれど,数学教育の用語には僕らに分からない制限がついていたりするから,上の意味で平行四辺形になっているような等脚台形は等脚台形とは言わないというような決まりがもしかするとあるのかもしれません.しかし,あるかないか分からないような決まりを気にすることはないと思います.「定義はこれ,だとすればこうなる」でいいのではないでしょうか.
 1999.2.8

内 容
名  前萩原 正枝
学籍番号栃木県宇都宮市立星ヶ丘中学校
題  名総合学習への取り組み方について
コメント 現在数学を担当しております。総合的学習が導入されようとしておりますが、貴TOSMでは、どのように取り組まれるのでしょうか。
 お知らせいただきますと幸甚です。

 下記宛先までご回答いただきますと幸甚です。

 ootuki@rose.plala.or.jp
端末IPIP-ADDR:210.153.20.158
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 5.0b2; Windows 98)
日  付Sat Jan 23 04:52:26 1999
コメント難しいですね.これ皆で議論して貰えませんか.個人的には総合学習を何とかいいかげんなものにしないために,また,この事によって基礎的教科の学習が疎かになることのないように,総合学習の実践を総合的に考え,支援しあう目的で,日本総合学習学会を作りました.しかし,その中でこれはと思うような実践例では,算数・数学の取り扱いが余りきちんとなされていないと思います.
文部省のいう表面づらを如何に実質に添わせていくのか。
どんな現場でも可能な形をどう考えていったらいいのか。
これまでにある実践例は,余裕のあるところか,文部省の指定校だったりすることから,文部省の言葉の先取り的に働いているということもあるでしょう。
トスムではと言われれば,個人的には,そんなこととは関係なくきちんとした算数・数学の教育をする努力の方が先と言ってしまいたくなる現状です。
文部省が言うような総合学習なら,これまででも心ある先生方が個人的に実践してこられたこと以上のことができるのかどうか,制度として位置づけることによってそれがゆがむことはないのか?
色々な立場で,色々なことが言いたくなるだろうし,言えることであります。
個人的には二面作戦ですが,現場ではある一定の立場を取らねばならないのでしょうから,難しいでしょうね。
また色々議論して下さい.
1999.2.8

内 容
名  前巻幡 隆之介
学籍番号慶應志木高等学校2年
題  名積分の問題が分からないのですが。。。
コメント水門の形が上底60m、下底30mの等脚台形であるダムがある。
このダムが満水状態である時、水門全体にかかる力はいくらか?
ただし、水深xmのところではxトン/平方メートルの水圧がかかるものとする。

と言う問題なのですが、良く考えても分かりません。。。
どうか、積分に自信のある方教えてください!
お願いします。
端末IPIP-ADDR:202.219.1.210
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 4.01; Windows 98)
日  付Thu Feb 4 00:36:42 1999
コメント この種の問題に答えると,予備校の出張所みたいになるので普通は答えませんが,取り敢えず.
 この問題は元々の設定で考えると,ものすごく難しい問題です.しかし,「水深xmのところではxトン/平方メートルの水圧がかかるものとする。」と書いてありますね.これこそが条件なのです.つまり,それ以外の物理的な状況設定はすべて忘れていいのです.これがなかなか忘れられない.忘れて後は条件にしたがって,積分の式を書くだけ。
 こんなことだから,数学は現実を反映しないだとか,色々誹謗中傷されたりする。しかし,現実を反映していないわけではない.設定はモデル作りであって,実はモデルを作るところは数学ではなく,担当する科学の責任なのです.が,そのところで,数学が嫌われる.困ったものですね。
1999.2.8

内 容
名  前横井宏英
学籍番号早稲田大学(e-mail: g97p0977@mn.waseda.ac.jp)
題  名「集合」に関する質問です。
コメント初めまして、こんにちは。
「集合」の科目を受講している大学2年生の者です。
次のような課題が出されましたが、どのような解答が適当でしょうか?
また、このような質問をするのに適当なページを他にご存知でしたら、お教えください。

・「集合A,Bに関して、A⊂Bなら、A∈Bではない」
という命題に対する反例をあげ、数行の解説を加える。
端末IPIP-ADDR:133.9.6.36
BROWSER:Mozilla/4.04 [ja] (WinNT; I ;Nav)
日  付Thu Feb 18 19:50:08 1999
コメントこの種の問題に答えないということをはっきりさせるために,もう本当に答えません.この種の問題というのは予備校での問題の答え,大学のレポートの問題.
 ここは基本的には高校までの算数・数学教育の教師のための支援の場です.また,そうした教師に質問しても適切な答えを得られない児童生徒には,そうした教師の罪は送り出したわれわれの連帯責任という意味合いで答えていますが.
 営利目的の予備校や,当然正しく指導できる能力を持っている筈の大学教師の尻ぬぐいをする気は毛頭ありません。
 学生は,分からないことがあれば、考えること,尻から火がでるほどにも,目に星が出て,頭の芯が痛くなって,胸が苦しくなって,胃から血が出そうになって,それで分からなくても,さらに一日は悩みなさい.その後でなら,そうした質問にも答えましょう。
 そのときには,それまで何を考えたかを書いてみなさい。本当にそれほど悩んだのなら,書いているうちに答えがひとりでに分かる筈ですが.

内 容
名  前藤井一樹
学籍番号fujii@mickey.club.or.jp
題  名微分トポロジー講義について
コメント読者のページ掲示板に何度か
投稿したのですが、なかなか掲載されないので、
こちらにもクロスポストさせていただきます。

=========以下、同文=======
初めまして、藤井と申します。
ミルナーの本は、学生時代に読んだときには、
素人でも、すいすい読めるので、とても爽快だった
記憶があります。翻訳を書店で偶然に見つけたときは、
懐かしくて思わず購入してしまいました。
昔の書き込みと訳註を見比べながら、暇を見つけて
楽しみながら読み直しています。
以前は最終章の途中で挫折したので、
今度は最後まで読むつもりです。

ところで、第1章を読んだばかりなのですが、
いくつかコメントがあります。

まず、p10 「主張」で、初めて「線形空間の同型」
という用語が用いられるのだから、ここにも、
\dagger を入れるべきではないでしょうか?

つぎに、p13 の訳註12において、
h_{\varepsilon}(x, y, z)=\frac{1}{1-\varepsilon z}(x, y)
となっていますが、素人目には、一瞬何のことか
わかりにくいと思います。私も、ちょっと首をひねりました。
ここは、やはり、
h_{\pm}(x, y, z)=\frac{1}{1\pm z}(x, y)
とすべきだったのではないでしょうか?

最後に、p14の訳註14です。この訳註が何を言おうと
しているのか、私には、よくわかりませんでした。
ここで問題になっているのは、P(z)=0 に重解があるかどうか、
ではなくて、P(z)=0 に解があるかどうかですよね。

ならば、本文の証明で気になる所があるとすれば、
正則値 y に対し、#f^{-1}(y)=0 となるようなことが
ないことを保証しなければならない点だと思います。
これは、むしろ、次のような議論によって
示されるのではないでしょうか?

「仮に、正則値 y について #f^{-1}(y)=0 となったとします。
すると、f(x) は、常に臨界値を取ることになります。
そうであれば、本文の議論から、f(x) の値は
高々有限個になるので、P(z) の値も高々有限個になります。
ところが、P(z) は、仮定から、定値関数ではない
連続関数ですから、これは、明らかな矛盾です。
ゆえに、正則値 y に対し、#f^{-1}(y) は
常に正となります。」

以上、数学は独学で、まったくの素人ゆえ、すべては
思い違いの可能性大です。失礼とは思いましたが、
思い切って、書き込みさせていただきました。では。
端末IPIP-ADDR:202.235.156.134
BROWSER:Mozilla/3.01 [ja] (Macintosh; I; PPC)
日  付Fri Feb 26 16:52:19 1999

内 容
名  前藤井一樹
学籍番号fujii@mickey.club.or.jp
題  名微分トポロジー講義について2
コメント藤井です。

p14の訳註14が何を言おうとしているのか、
なんとなくわかりました。本文の証明は、
f が onto mapping であることを、
f の正則値でのみ、示しているだけなので、
臨界値では、どうなのか?、という疑問が
あり得るかもしれないことを心配しているのですね?

でも、それは臨界値の定義から明らかだから、
本文ではわざわざ証明していないわけで、
そうならば、もっと、そのように
明確に書くべきではないでしょうか?
これでは、かえってわかりにくい印象を持ちました。

次に、ようやく第2章まで読み終わったのですが、
p22の訳註15には、ミスプリがあるのではないでしょうか?
最初と2番目のP_1(x) は、P(x) とすべきで、
最初の不等号の右にある P(x) は、すべて
P_1(x) にしないといけないのではないでしょうか?

以上です。失礼しました。
端末IPIP-ADDR:202.235.156.134
BROWSER:Mozilla/3.01 [ja] (Macintosh; I; PPC)
日  付Sun Feb 28 12:13:38 1999

内 容
名  前藤井一樹
学籍番号fujii@mickey.club.or.jp
題  名微分トポロジー講義について3
コメントこのところ忙しかったのですが、
ようやく4章まで読みました。

少し前に戻るのですが、p12訳註10にも
ミスプリがありますね。
(x, y)\in R^n は、(x, y)\in R^2
でなくてはいけません。

今日は以上です。では。
端末IPIP-ADDR:202.235.156.134
BROWSER:Mozilla/3.01 [ja] (Macintosh; I; PPC)
日  付Tue Mar 9 15:53:35 1999

内 容
名  前藤井一樹
学籍番号fujii@mickey.club.or.jp
題  名微分トポロジー講義について4
コメント第5章を読み始めました。
以前読んだときにも、オリエンテーションは
ややわかりにくい印象があって、そのときは、
Guillemin-Pollack を読んだりしたのですが、
今回は、わりにすっきり頭に入りました。
(2度目のせいかも?)

ところで、
p40の下から3行目の文章は何ですか?
これは、原書にはありませんよね。
ミスプリにしては、あまりにも堂々としています。(笑)
では、また。
端末IPIP-ADDR:202.235.156.134
BROWSER:Mozilla/3.01 [ja] (Macintosh; I; PPC)
日  付Wed Mar 10 15:09:50 1999
 お 礼最後の指摘は,全く汗顔の至りです.校了前はとても忙しくて,編集者に追われて,追われて!図の位置の指定のためのコメントの一部が,そのまま本文に印刷されていたとは,指摘して頂くまで気がつきませんでした.Texのアスキーファイルを送って,それを編集者が加工して本になります. もちろん,僕の原稿ではこのコメントはコメントアウトしたあったのですが,加工する際にコメントアウトを外してしまったらしいのです.もう一度,ぼくがチェックすればよかったとも言えるのですが,追われて追われて,その時間をくれとは言いかねる状況だったのです.この件では,僕も編集者も多いに反省して,以降の本では.....うーん,やっぱり,追われて追われて
 余裕があるように早めに原稿を挙げればいいんですが,兎角,凝らないつもりが凝ってしまって.....

内 容
名  前藤井一樹
学籍番号fujii@mickey.club.or.jp
題  名微分トポロジー講義について5
コメント今日は、質問があります。

p43の補題2の証明で、[0,1]\times M^n としている
所です。ここは、原書でも確かに、この通りなんですが、
本当にこれでいいのでしょうか?
私も昔読んだときには、特に気にならなかったらしく、
何も書き込みがないのですけど、ここで、
何故、M の n-product を考える必要があるんでしょうか?
単に、[0, 1]\times M とすれば十分だと
思います。それとも、何か、とんでもない
勘違いをしているのでしょうか?

最近、蟹江先生はお忙しくて掲示板を読んでないのかも
しれませんが、もしお答えをいただけると嬉しいです。

では、また。
端末IPIP-ADDR:202.235.156.134
BROWSER:Mozilla/3.01 [ja] (Macintosh; I; PPC)
日  付Thu Mar 11 15:58:11 1999
コメント失礼しました.ちょっとしたプログラムミスで書き込み先が別のところになっていました.以降は本のページの方へどうぞ.ちょうど2刷りのための訂正を入れる時期で,参考にさせていただきました.これからも宜しく。
 しばらくして,貴方の書き込みはすべてそちらに移動します.
 ところで,ご明察のとおり,忙しくて掲示板を見回る時間がなかなかとれません.
 ご質問にお答えします.貴方は正しいし,本も間違っていません.ここでの M^n は単に M が n次元であることを表示しているだけなのです.横で見ている佐波君に,訳註に書きましたか?と冷やかされました。^-^!
1999.3.11

1999.4.6 : ここまでにも何通か書き込んでいただきましたが,本の読者のページの方に移させていただきました。

内 容
名  前赤荻 進一
学籍番号東京都立 戸山高等学校
題  名弧度法の由来について
コメント3学期に「極座標と極方程式」の授業をしたとき,その授業ノ−トに或る生徒が,「弧度法がいいのはどのような点からか?また,そんなに良いのならば,なぜ中学校から度数法をつかわないのか?」と質問欄に書いてきました。
この答えとして「sinの微分がcosにきれいになるのは弧度法を用いるからです。このように,式に現れる係数が簡単になるように工夫することはよくあることです。たとえば,電磁気におけるク−ロンの法則の係数に4πが現れます。しかし,実生活で使用すると一番大切な角である直角でもπ/2と表すことになり分かり難くなるので弧度法は中学では使用しない。微分・積分を用いるまでは度数法を使うのだと思います。」と答えましたが,これでよいのでしょうか。
この答えを書いてから不安になりました。本当に,ニュ−トンは弧度法を用いて計算していたのか。微分・積分が確立するまでは弧度法は使われなかったのか。そもそもいつ頃から弧度法が使われたのか。
手元にあるボイヤ−の「数学の歴史」(朝倉書店)やカジョリの「数学史」(津軽書房)で調べると「ベルファスト大学クウィンス・カレッジのゼイムズ・トムスン(ケルヴィン卿の兄)が1873年6月に行った試験問題の中にラジアン(弧度)の言葉の起源がある」(カジョリ下巻284ペ−ジ)のみで弧度法に関する歴史的記述がありません。
そこで,弧度法の歴史に関して教えて下さい。また,ニュ−トンは本当に弧度法で三角関数を考えていたのでしょうか。
Eメ−ル・アドレス:aka_shinnichi@mta.biglobe.ne.jp
端末IPIP-ADDR:210.147.20.215
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 4.01; Windows 95; BIGLOBE)
日  付Fri Apr 9 20:04:13 1999
コメント カジョリの本にあるように,James Thompson(1822-92)がradianという言葉を使ったのが最初のようです. しかし,角の単位としてはずっと前から使われていたようで,1ラジアンを 1rとか 1Rとか 1ρ(ギリシャ語のロー)とか 1(r)とか使っていて,例えばライプニッツは radius と言っていたようです。 1c という使い方もあったようですが,これは circle measure の頭文字からです.もちろん,円周を測ることが角を測ることということです. 子供たちは,長さの単位が山ほどあっても(尺,メートル,フィートなど),おそらく何も気にしないでしょう.メートルははっきり,いつ誰が何のために決めたかがはっきりしていますが,それ以外のものはそれを定めた法律でしかその下限を知ることもできません。
そういう意味では,単に角の大きさを測る単位として,単位円の弧の長さで測るのはもっとも自然なことだけでいい筈です.
しかし,残念なことにというか,おもしろい事にというか,単位円周の長さは 2πであって,極めて特別な無理数です。 カジョリの本の引用されていたページの1,2ページ前に,19世紀の末に再度,度数で角度を表わすことが広まったという記事があります.
詰まり,こういうことでしょうか. 三角関数の値ということを考えないのであるかぎり,角の大きさというのはさほどの精度で測る必要はなかった。しかし,天文学上,高い精度が必要になる.エラトステネス,プトレマイオスのころには十分その必要が出て来た。 数表を書く時,見出しの値は度数表記の方が都合が良い. 全円周との比が有理数の方が使いやすい. 三角関数表は度数で表記される。
天文学が進んで,精度がさらに必要となるころ,対数が発明される。 最初の対数表は log sin x や log tan x の表であった. ニュートンなどによって確立される前から,微積分的操作ではradianでないと都合が悪い。 上にも述べられているように,微積分を施すたびに無理数が係数として出るから。
先程注意したカジョリの記事では,実用上,周期が無理数というのが一般の人に馴染まないという理由で,度数の方を採用することが多くなったとあります. 三角関数の微積分まで利用しない多くの人のためには度数法を,微積分を使うのならラディアンをということになっている(現在)と思います。 『解析教程』にも書いたように サイン という関数自身は12世紀に名前を付けて貰いましたが,その前から使われて来ています。 また,文字式使用がされる前には,今の意味で sin x があったわけはなく,その意味で x という変数を測る単位としてのラジアンはあるはずもありません. しかし,微積分をやる際,一々長さの単位など気にしないものです。 そういうものは単なる係数の問題だからです。 関数に応じて,一番,余分な係数が出ない単位にしておいて,結果が出てから,単位は調整するわけです。
 角が出たって同じことです。「弧度法を使う」ようになったのはいつの頃からかという質問には答えられません。 先日も言ったように,ギリシャの昔から使っていたともいえるし,それこそトムソンが使ったときからということも出来ます。
 しかし,ニュートンが弧度法を用いて計算していたのかという質問なら,使っていたと答えることはできます。ニュートンは sin x という形では関数を取り扱っていなかったようですが,たしかに,sin x のマクローリン展開を現在とまったく同じ級数の形で使っています。
 「どうして弧度法なんか使うのか」という生徒の質問には,むしろ弧度法以外の単位をどうして使うのかという反論をしたらよいでしょうか. 「中学でなぜ使わないのか」という質問には,小学校のときに文字を使わなかったのと同じようなものだという答えでは不十分でしょうか?
 1999.4.11

内 容
名  前浜田真衣
学籍番号
題  名お勧めの参考書や問題集を教えてください。
コメント私は、中学で数学が苦手になり、高校で何とか持ち直したものの理解できてない部分が多くあります。
しかし、数学がすこし面白く感じてきたので、今まで理解できてなかったところをしっかりと理解していきたいと思っています。そして、最終的には大学入試問題が解けるくらいになりたいと思っています。
そこで、お勧めの参考書や問題集を教えていただきたいのです。他の掲示板で[大学への数学]がいいと聞きましたが、中学の数学から理解していきたいので、ほかにありましたら、教えてください。
端末IPIP-ADDR:210.162.75.46
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 4.01; Windows 98)
日  付Thu May 6 14:04:55 1999
回 答  中学位というと余りお薦めできるものはないのですが, 志賀さんの一連の著作や,I.M.ゲリファントのもの,ポントリャーギンのもの,宇沢さんが岩波から出されたものなどはいかがでしょう. その種のものも含めて,私の別のサイトにあるほんの本のリストは,日本語で書かれた数学・算数の本のリストとして,かなり役に立つのでは自負しています.1冊1冊にコメントつける暇がないので,原則として,書名だけです. 大学以前の数学の場合はここかここに載っているものの中から探されたらどうでしょうか. 貴方の興味と知識がもう少し分かれば,もう少し適切なお答えもできるのですが.

内 容
名  前岩戸明裕
学籍番号小学生の親として(iwato-a@daiwabo.co.jp
題  名左辺、右辺を持つ算式の表している内容
コメント
「1 + 1 = 2」という数式の意味についてなのですが、これは

A.左辺(1+1)と 右辺 (2)は大きさが等しい ・・・状態を表現している

B. 1+1は2になる ・・・ 計算するという行為とその結果を表現している

のいずれなのでしょうか? 私は Aであると思うのですが・・・。
小学校では「いち たす いち は に」と声に出して読むと思いますが、
左から順に読むことが自体、Bという解釈につながるのではないでしょうか。
Bはいわば 化学反応式の 2H2 + O2 → 2H2O と同じ発想、
すなわち時間の経過まで含んだ概念です。

よく聞く言い方に「やり方によっては1たす1が3にも4にもなるんだ」という
のがあります。これも、Bの発想であると思われます。数学の試験問題の回答として書
かれた結果だけを見ると、A,Bのいずれと理解していようが、
表面上はなんら、違いはありませんが、実際には決定的違いがあるのではないでしょうか。
なぜ混同されるかというと、人間が1+1に等しい数を探し当てるのにあるプロセスを必要
とするからではないでしょうか。それがBという発想につながると思いますが、 1+1 と 2
は人間の計算という行為とは無関係に等しいはずです。
結局、「1+1=2」という式を、人間が計算して答えを見つけるプロセスとみなしてしまうという
ことだと思います。Bであるなら 1+1 → 2 と表記するほうが実態に合っていると思います。
初等数学教育では、A,Bの違いを理解し混同することなきよう注意を払うことは大切なことであると思います。

みなさま、いかがお考えでしょうか?


端末IPIP-ADDR:210.164.255.130
BROWSER:Mozilla/2.0 (compatible; MSIE 3.0; Windows NT)
日  付Fri Jun 25 18:54:01 1999
おこたえお考えはほとんどの減点の箇所が見つからない立派なものです. 小学校の教師もせめてこの位はいつも考えていてもらいたいものです.
 ただ,「初等数学教育では、A,Bの違いを理解し混同することなきよう注意を払う」ことは必ずしも得策ではないかも知れません.算数教育的には,その様に理解することになっているようです.僕はあまり賛成ではないのですが.  たとえて言えば,小さい子供に赤ちゃん言葉で話しかけるようなものです. その方がよいこともあるでしょうが,大人は子供にきちんとした話し方をした方がよいと僕は思っています.
 あ,=の意味ですね.それは状況によるのです.数学では A だと言う方がいいのでしょうね.A とは左辺と右辺の値が等しいという意味でしたよね. ことはむしろ「等しい」とは何かということなのです.数式とは数学的内容を簡潔にまとめたもので,本来文章なのです.だから,左から右へという流れはどうしてもあるのです. だから,「等しい」ということの意味には,左辺が右辺に等しいということがあれば,同時に右辺が左辺に等しいということも含んでいるのです.これを少し難しく言うと,対称律と言います.自分自身とは等しいという,誰が見ても明らかな「反射律」もあります. さらに,友だちというのは同じだということではないことを際だたせる「推移律」もあります.この3つの規則が成り立つような状況で「等しい」という抽象が成り立つのです.
 =は,言葉で考えるような意味での「同じ」であることを意味しません. 事物のある特性を捉え,その特性でだけ等しいということを認め合うという位の感じですね.たとえば,1+1=2を例にしましょう.
リンゴが1つとリンゴが1つで,リンゴが2つ.ミカンが1つとミカンが1つでミカンが2つ.ではリンゴが1つとミカンが1つでは,なにが2つなのでしょう?

あ,すみません.お訪ねの趣旨とは話がずれてってしまいました. 1+1という行為と結果を示していることとあるのは,この等式に対する解釈なのです.1+1=2という数学的事実の生活体験への応用なのです. 初等教育では,とくに初めて計算をする,そして初めて計算式を書く子供にとって,数学的事実としての1+1=2を理解することは難しいでしょう(これは大学生でも難しいのです). そこで,それが成立している具体例を挙げて,納得して貰っているわけです. だから,最初の子供の意識としては B として理解させるわけです. その上で,何年かたつうちには,自然に1+1=2の数学的意味が理解されて行くだろう,と期待するわけです. 理解はされなくとも,実用上は問題がない程度には納得して貰えるだろうと期待しているのです. そして,ときには貴方がなさったような哲学的考察をしてくれれば,より理解が深まって行くだろうというものです.
 答が見つからなくとも,この種の考察は意義があります.「小学生の親として」というタイトルに思うのですが(もしかしたら,お子さんは中学生になっているかも知れませんが),お子さんと一緒に考えてみる,ないし考えてみせるというのがもっともよい解決法ではないでしょうか.
 貴方ご自身だけの疑問にしておいてはもったいない.お父さんはこう思うんだけど,先生はどう言ってるんだ? 先生に訊いてみてくれるか? お子さんもモノを考えることを勉強し,先生も少しはモノを考えてくれるかも知れません.
 (お返事が遅くなって申し訳ありませんでした)

内 容
名  前山下 正
学籍番号学習塾
題  名空間座標と四元数
コメント直線上の点を実数に対応させたものを数直線といいます。
平面上の点の座標を複素数に対応させたものを複素数平面といいます。
では、3次元空間または4次元空間の点の座標を四元数に対応させることなんてあるのでしょうか。
空間幾何などを四元数を使って解く事なんてあるのでしょうか?
ふと疑問に思いました。
聞いた事があるひとがいればぜひ教えてください。
端末IPIP-ADDR:210.229.12.143
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 4.01; Windows 95)
日  付Sun Jul 4 01:50:33 1999
回 答  出し遅れの証文のように古い話ですが,「あります」.元々四元数は,3次元空間に数の構造を入れようと悩んだハミルトンが,3次元に1次元を付け加えればよいと気づいたことから生まれたものなのです.
多分,この下の高原さんのコメントの本にも乗っているのでしょうが,トス『数学名所案内』の下巻に発見の経緯や,ユークリッド幾何への応用も載っています.大学の理学部数学科の学生程度の学力が要りますが,該当箇所だけを読むのではなく,上巻の最初から読めば,本当に興味をお持ちなら読めると思います.目次はここを見て下さい.

内 容
名  前市原玲子
学籍番号千葉大学大学院教育学研究科数学教育専攻
題  名0で割ること
コメント□÷0は、やってはいけないとか、できないって教わりますよね。

この理由を小学生、もしくは中1の初めの子どもに説明するにはどうし

たらよいのでしょう?

文字を使った証明(背理法とか)は見たことありますが、ちょっと難しい

し、ないものでは割れないでしょというのも逃げてるみたいだし。

だいたい、ないものを分けること(0÷□)はあるのに・・・。

これから教職につこうとしている私に、良い説明の仕方を教えて下さ

い。
端末IPIP-ADDR:133.82.101.36
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 4.01; Windows 98)
日  付Mon Jul 5 16:13:34 1999
回 答 教育学部の数学の学生さんですね.じゃ,÷ということも意味を考えなさいということにしておきましょう.
 どうも,小学校での典型的な教え方では,掛け算には掛け算の意味,割り算には割り算の意味と言うように教えているのでしょうか.教科教育では,やり勝ちなことですね.じゃ,いつまでもわかりませんよ.
 子供は自分よりもモノを知らない,理解力がないとは思わないことです.言葉は易しいものを使う必要があるかも知れませんが,内容的には正しいことを正しく教えるべきです.そう思ったら,いくらでも子供への説明を考えることができる筈です.

内 容
名  前藤本 梢
学籍番号日本大学3年(教職を取っています。)
題  名そういうものとして覚えていたのですが・・・
コメント どうして、負の数と負の数をかけると、答えは正の数になるのでしょうか?
足し算や引き算であれば、数直線を使い、どうにか説明できるのですが、掛け算と割り算は、どのように説明すれば分かってもらえるのでしょうか。
 よろしくお願いします。
端末IPIP-ADDR:133.205.214.215
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 5.0b2; Windows 95)
日  付Wed Jul 14 23:21:42 1999
回 答 既にこの掲示板でも何度か答えたと思います.過去問のページを参照してください.それでも分からなければ論点を整理して,また訊いて下さい.

内 容
名  前
学籍番号青森県立五所川原高校理数科2年
題  名数詞と割合の読み方の違い
コメント 課題研究のテーマに数詞と割合の読み方の違いについて研究しています。
数詞では1/10を「分」、1/100を「厘」、1/1000を「毛」と読みます が、 割合(歩合)では1/10を「割」、1/100を「分」、1/1000を「厘」と 読みますが、 なぜこのような違いがあるのかご存知でしたらお教え下さい。
また、このことに関するサイトやメルアドがありましたらこちらも教えていただけれ ば幸いです。
できればお早めにお願いします。
端末IPIP-ADDR:133.205.214.215
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 5.0b2; Windows 95)
日  付Wed Jul 14 23:22:46 1999
回 答 数詞での使い方とおっしゃる方が基本です. 割合では,「割」が基本単位で,その1/10,1/100,...という意味です.

内 容
名  前yasu_ha
学籍番号hf20242@ha.bekkoame.ne.jp
題  名e について
コメント数学の π は円周率ですがこれとと同じような e は何を表しているのですか!また具体的な値がわからないのですが教えてください
端末IPIP-ADDR:63.12.80.249
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 5.0; Windows 98; DigExt)
日  付Tue Nov 9 23:59:55 1999
回 答 自然対数の底です.指数関数 ax を x で微分すると ax にある数が掛かります.その数は a が変わると変わります.かwるけど,それが1になることもあって,その方が都合がいいでしょう? その値を探したらそれが e だというわけなのです.
 2.7の少し上.もちろん無理数で,超越数でもある.数III以上の微積分を勉強しないと意味は分からないのです.頑張って!

内 容
名  前北島 健
学籍番号府立高校
題  名なぜ正弦,余弦,正接と言うんですか?
コメントsin,cos,tanを何故,日本語で正弦,余弦,正接と言うんですか?
「弦」とか「接」とかから「円」を連想するんですが,どうなんでしょうか?
語源を教えて下さい。
端末IPIP-ADDR:152.163.197.64
BROWSER:Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 4.01; AOL 4.0; Windows 98)
日  付Mon Nov 29 01:30:07 1999
回 答 どうしてこういう質問がでるのでしょうね. 「弦」とか「接」とかから「円」を連想するんですが」と言われても,その通りです,としか答えようががありません.他の大きの数学用語とは違って,元々日本語なのです.あ, 中国語といった方がいいですね.むしろ,「sin,cos,tan」の語源はなんですか,と訊いてくれた方が質問らしいような気がする.もちろんtanはtangentで,接線を意味しています.cos は cosine で,sine と対なものという意味です.では sine はということですが,はっきりしません.いつかは,ルネサンス前期にアラビヤ科学の(ラテン語への)翻訳をしたときについた名前です.あるアラビア語の翻訳ないし音訳なのですが,それがまた,インドの言葉の音訳だという説もあります.『解析教程上』では素直にアラビア語の「湾」を意味する言葉からという説をとっていますが,それは1字間違っていて,インドのまさに「弦」を表わす言葉の音訳だという説もあるのです.
 日本語の方はそのまんまなのです.
 あーあ,また,質問の何倍も答えちゃった.だから,暇を見つける決心がつかないと回答できないの.....言い訳,言い訳.

内 容
名  前高原文規
学籍番号愛知県立天白高等学校(教諭)
題  名四元数と空間(山下 正さんへの解答)
コメント講談社 BLUE BACKS B990
数学を築いた天才たち(下) p185 からお読みください。
端末IPIP-ADDR:157.14.164.81
BROWSER:Mozilla/4.6 [ja] (Win95; I)
日  付Tue Nov 30 02:12:40 1999

内 容
名  前高原文規
学籍番号愛知県立天白高等学校(教諭)
題  名dvi 形式のファイルのファイル
コメント蟹江先生、お久しぶりです。

どこかで嘆いておられた dvi 形式のテキストですが、
http://www.softbank.co.jp/sbnet/books/editer/4th/pLaTeX2e/html/index2.htm
でフォローしている本のように、
付属のCD-ROMによって tex を配布している本がありますので、どうにかして手に入れることを要求されればいいと思います。
端末IPIP-ADDR:157.14.164.81
BROWSER:Mozilla/4.6 [ja] (Win95; I)
日  付Tue Nov 30 02:14:37 1999
回 答  はい,皆さん宜しく!!!!