『微分のはなし』　目次

まえがき

第1章 無限と有限と無限小と

１．一番大きな数

２．数と数の間の数

３．有理数も無理数も

４．可能無限小と収束する数列

５．まじめに発散する数列

　

第2章 無限と有限の狭間

１．2項定理は数学的帰納法の故郷

２．多項式の次は？

３．指数 a^αの定義

４．事実1と2の無限大・無限小の大小

５．2重数列と事実1と2の狭間

６．実数の定義（区間縮小法）

７．数 e の定義と連続の公理

８．数 e の定義をもう一度

９．階差数列からみれば，数列も級数

　

第3章 級数に有限・無限の狭間を見る

１．e の定義ふたたび

２．コーシー列

３．収束しない数列たち

４．コーシー列は収束する

５．交代級数(行ったり来たりじゃ遠くにゃ行けぬ)

６．正項級数

７．級数からはたくさんの狭間が見える

　

第4章 関数の話にしよう

１．集合の言葉

２．写像の言葉

３．関数登場

４．位相の言葉

５．素直な関数たち

６．不連続点あれこれ

　

第5章 連続と連結とコンパクト

１．連続関数の2大定理

２．集合の上限・下限

３．中間値の定理の証明

４．最大値の定理の証明

５．ノルム空間・内積空間としての ユークリッド空間

６．距離空間・位相空間としてのユークリッド空間

７．平面曲線

８．丸餅と大福餅と鏡餅の問題

　

第6章 多項式と微分

１．既知の連続関数

２．単調性と連続性 ： 連続関数の具体例

３．関数等式で定まる連続関数

４．関数としての多項式

５．ホーナー法

６．ホーナー法で無理数解を近似する

７．多項式の1次近似と微係数

８．多項式の微分

　

第7章 微分：定義と基本性質

１．有理関数の微分

２．一般の関数の微分

３．導関数を表わす記号

４．基本性質

５．合成関数， 逆関数

６．ライプニッツの記号で書けば

７．微分可能な関数の例 ： 指数関数

８．微分可能な関数の例 ： 双曲線関数

９．微分可能な関数の例 ： 三角関数

10．逆関数で表わされる微分可能関数の例

11．微分の定義の補足的注意と例

　

第8章 微分の応用：最大最小とテイラーの定理

１．ロルの定理と平均値の定理

２．微分可能関数の増減

３．フェルマーの原理

４．最大最小問題と不等式の例

５．コーシーの平均値の定理

６．ド・ロピタルの定理

７．テイラーの公式

８．テイラー展開

９．補遺：ニュートンの方法

　

第9章 図形に対する微分の応用

１．直線とその傾き

２．直線の傾きと微係数

３．曲線の傾きと微係数

４．円と接線

５．曲率

６．凸関数

　

第10章 多変数関数と偏微分

１．多変数の連続関数

２．偏微分可能性

３．高階の偏導関数

４．微分可能性と全微分

５．合成関数の微分と微分の幾何的意味

６．高階の微分可能性

７．平均値の定理とテイラーの公式と有限増分の定理

８．陰関数の定理

９．極大極小の条件

10．条件つき極大極小とラグランジュの未定乗数法

　

第11章 項別微分とベキ級数

１．各点収束と一様収束

２．項別微分

３．ベキ級数と収束半径

４．収束半径の求め方

５．テイラー級数

６．係数比較で微分方程式を解く

　

第12章 常微分方程式で定まる関数

１．指数関数の場合

２．常微分方程式の解の存在と一意性

３．高階の場合

４．定数係数線形微分方程式

５．1階の場合の反省から

６．定数係数線形微分方程式の基本解

７．指数関数 e^axの場合

８．微分方程式 y"=-y の解としての三角関数

９．角関数の周期性とπの定義

　

演習の回答

参考文献

人名索引

事項索引