『積分と微分のはなし』　目次

まえがき

第1章 積分への道：「測る」とは

１．数の役割

２．多角形の面積

３．多面体の体積

４．放物線の弓形領域の面積

５．ヒポクラテスの月形

６．円の面積と円周率π

７．α次の放物線と直線で囲まれた領域の面積

　

第2章 面積関数と不定積分

１．面積関数と原始関数

２．定積分の性質と微積分学の基本定理

３．積分の基本公式

４．関数の偶奇性と周期性

５．基本的な原始関数

６．積分の計算例

　

第3章 初等関数の不定積分

１．漸化式

２．有理関数の積分

３．部分分数展開

４．部分分数展開の計算例

５．有理関数の積分に帰着する

　

第4章 定積分の理論的応用

１．積分形の剰余項を持つテイラーの公式

２．対数関数

３．不等式

４．定積分の計算例

５．漸化式

６．ウォリスの公式とスターリングの公式

７．無限大(小)を区別する

　

第5章 面積再論：図形の不変量

１．平面図形の面積

　1.1．極座標で表す

　1.2．漸近線をもつ場合

２．境界が一般な場合と線積分

３．弧長

４．反省：微小要素での積分と変数変換

　

第6章 空間図形の不変量（多変数関数）

１．空間の円柱座標と極座標

２．空間曲線の弧長

３．空間図形の体積

　3.1．アルキメデスの球の計算

　3.2．簡単な例

４．曲面の面積(曲面積)

　

第7章 重心と慣性モーメントと回転体

１．平均値，曲線の重心

２．空間曲線の重心

３．平面・空間領域の重心

４．三角形の頂点重心と辺重心と面重心

５．慣性モーメント，ポテンシャル

６．回転体と回転面の場合

　

第8章 2次曲線と2次曲面

１．円錐曲線

２．楕円と(回転)楕円体(面)

３．放物線と回転放物体(面)

４．双曲線と(回転)双曲体(面)

　

第9章 いろいろな曲線とその微積分

１．カテナリー

２．サイクロイド

３．外サイクロイドと内サイクロイド

４．カージオイド

５．アステロイド

６．デカルトの葉線

７．レムニスケート

８．アルキメデスの螺旋

９．いろいろな問題

　

第10章 広義積分（無限積分と特異積分）

１．無限積分と特異積分の定義

２．収束に関する基本性質

３．例

４．漸化式

５．正規分布の積分

６．コーシーの主値

７．オイラー積分：ガンマ関数とベータ関数

第11章 リーマン積分

１．リーマン積分の定義

２．積分可能な関数

３．平均値の定理，有限増分の定理

４．微積分学の基本定理

５．弧長

６．重積分

７．一様収束性と項別積分

８．積分記号下での微分

９．リーマン積分の弱点を解消するルベーグ積分

　

第12章 積分法からの旅立ち

１．πをめぐって

２．リーマン-ルベーグの定理

３．ガンマ関数とベータ関数ふたたび

４．楕円積分

演習の回答

参考文献

人名索引

事項索引