『古典群：不変式と表現』　目次

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目次

第 1 章 序論

1.1 体， 環， イデアル， 多項式

1.2 ベクトル空間

1.3 直交変換， ユークリッドのベクトル幾何

1.4 群，クラインのエルランゲン・プログラム，量

1.5 不変量と共変量

第 2 章 ベクトル不変式

2.1 これまでを振り返って

2.2 不変式論の主要な命題

　A.第1主定理

2.3 最初の例

2.4 カペリの恒等式

2.5 カペリの恒等式による第 1 主定理の簡約

2.6 第 2 の例 ： ユニモデュラー群 SL(n)

2.7 拡張定理． 第 3 の例 ： 階段変換の群

2.8 反傾変数を含む場合の一般的方法

2.9 第 4 の例 ： 直交群

　B.直交群の詳細な観察

2.10 直交群の， ケイリーの有理パラメータづけ

2.11 形式的直交不変式

2.12 任意の計量基本形式

2.13 無限小の立場

C.第2主定理

2.14 ユニモデュラー群に対する命題を述べる

2.15 カペリの形式的合同式

2.16 ユニモデュラー群に対する第 2 主定理の証明

2.17 直交群に対する第 2 主定理

第 3 章 行列代数と群環

　A.完全可約な行列代数の理論

3.1 行列代数に関する基本概念． シューアの補題

3.2 予備知識

3.3 単純代数の表現

3.4 ウェダーバーンの定理

3.5 完全可約な行列代数とその交換子代数

　B.有限群の群環とその交換子代数

3.6 問題を述べる

3.7 群環の完全可約性

3.8 形式的補題

3.9 群環と交換子代数との相互性

3.10 一般化

第 4 章 対称群と全線形群

4.1 代数的閉体での有限群の表現

4.2 ヤング対称子． 1 つの組合せ論的補題

4.3 対称群の既約表現

4.4 テンソル空間の分解

4.5 量． 展開

第 5 章 直交群

　展開代数と直交イデアル

5.1 ユニモデュラー群のベクトル不変式再論

5.2 直交群の展開代数

5.3 形式的枠組みでの結果を与える

5.4 直交素イデアル

5.5 直交群に関連した抽象代数

　B.既約表現

5.6 トレースの作用による分解

5.7 全直交群の既約表現

　正格直交群

5.8 クリフォードの定理

5.9 正格直交群の表現

第 6 章 シンプレクティック群

6.1 シンプレクティック群のベクトル不変式

6.2 パラメータづけとユニタリ制限

6.3 埋め込み代数とシンプレクティック群の表現 :

第 7 章 指標

7.1 ユニタリ変換についての予備知識

7.2 対称化または交代化のみに対する指標

7.3 群全体での平均

7.4 ユニタリ群の体積要素

7.5 指標の計算

7.6 GL(n) の表現． 共変式の数え上げ

7.7 純粋に代数的なアプローチ

7.8 シンプレクティック群の指標

7.9 直交群の指標

7.10 分解と×積

7.11 ポアンカレ多項式

第 8 章 不変式の一般理論

　A.代数的部分

8.1 古典的な不変式とクォンティックの不変式．

8.2 シンボル法

8.3 2 項 2 次形式

8.4 無理法

8.5 付随的な注意

8.6 多項式イデアルに関するヒルベルトの定理

8.7 GL(n) に対する第 1 主定理の証明

8.8 添加の議論

　B.微積分的方法

8.9 群芽とリー環

8.10 不変式に対する微分方程式． 絶対不変式と相対不変式

8.11 ユニタリ ・ トリック

8.12 古典群の連結性

8.13 スピノール

8.14 コンパクト群の不変式に対する有限整基底

8.15 有限群に対する第 1 主定理

8.16 不変微分とコンパクト・リー群のベッティ数

第 9 章 行列代数再論

9.1 自己同型

9.2 積に関する補題

9.3 単純代数の積

9.4 添加

第 10 章 補遺

　A.無限小ベクトル不変式に関す，2.9節-2.13節と6.1節への補遺

10.1 無限小直交不変量に対する恒等式

10.2 直交群に対する第 1 主定理

10.3 シンプレクティック群に対して同じこと

　B.シンプレクティック・イデアルと直交イデアルに関する，5.3節と6.2節，6.3節への補遺

10.4 完全可約性についての命題

10.5 シンプレクティック ・ イデアル

10.6 全直交イデアルと正格直交イデアル

　C.8.7節，8.8節への補遺

10.7 不変式に関する主定理の証明の改良

　D.基礎体の拡大についての，9.4節への補遺

10.8 可除代数に対する体拡大の効果

　 参考文献

　 訳者あとがき

　 索引