『代数学とは何か』　目次

著者まえがき

日本版によせて

訳者まえがき

目次

§1 代数学とか何か？

座標化のアイデア．例：量子力学の辞書と，結合性公理と平行性公理の有限モデルの座標化

§2 体

体の公理，同型．独立変数の有理関数体；平面代数曲線の有理関数体． ローラン級数体と形式的ローラン級数体．

§3 可換環

環の公理；零因子と整域．商体．多項式環．平面代数曲線上の多項式環． ベキ級数環と形式的ベキ級数環．ブール環．環の直和．連続関数環． 素元分解；素元分解環とその例．

§4 準同型とイデアル

準同型，イデアル，商環．準同型定理．関数環での制限準同型． 主イデアル整域；素元分解環との関係．イデアルの積．体の標数． 与えられた多項式が根を持つような拡大．代数的閉体．有限体． 一般の環の元を極大イデアルと素イデアルの上の関数として表わすこと． 関数としての整数．超積と超準解析．可換な微分作用素．

§5 加群

直和と自由加群．テンソル積．テンソル，加群の対称積と外積，双対加群． 同値なイデアルと加群の準同型．微分形式の加群とベクトル場の加群． ベクトル空間と加群の族．

§6 代数的に見た次元

加群のランク．有限型の加群．主イデアル整域上の有限型の加群． ネーター加群とネーター環．ネーター環と有限型の環．次数つき環の場合． 拡大の超越次数．有限拡大．

§7 代数的に見た無限小概念

2次の無限小を法とした関数と多様体上の接空間．特異点． ベクトル場と1階微分作用素．高階の無限小．ジェットと微分作用素． 環の完備化，p進数．ノルム体．有理数体と有理関数体の付値．数論におけるp進数体．

§8 非可換環

基本的定義．環上の代数．加群の準同型環．群環．四元数と多元体． ツイスター・バンドル．多元体上のn次元ベクトル空間の準同型． テンソル代数と非可換多項式環．外積代数；超代数．クリフォード代数． 単純環と単純代数．多元体上のベクトル空間の準同型環の左イデアルと右イデアル．

§9 非可換環上の加群

加群と表現．行列形の代数の表現．単純加群，組成列， ジョルダン--ヘルダーの定理．環や加群の長さ．加群の準同型．シューアの補題．

§10 半単純加群と半単純環

半単純性．群環は半単純である．半単純環上の加群．有限の長さの半単純環． ウェダーバーンの定理．有限の長さの単純環と射影幾何の基本定理．因子と連続幾何． 代数的閉体上の有限ランクの半単純代数．有限群の表現への応用．

§11 有限ランクの多元体

R 上または有限体上の有限ランクの多元体．ツェンの定理と準代数的閉体． p進体と有理体上の有限ランクの中心多元体

§12 群の概念

変換群，対称性，自己同型．力学系の対称性と保存則．物理法則の対称性． 群，正則な作用．部分群，正規部分群，商群．元の位数．イデアル類群． 加群の拡大の群．ブラウワー群．2つの群の直積．

§13 群の例：有限群

対称群と交代群．正多角形の対称群と正多面体の対称群．格子の対称群． 晶族．鏡映で生成される有限群．

§14 群の例：無限離散群

離散変換群．結晶群．ロバチェフスキー平面の運動の離散群．モジュラー群． 自由群．群を生成元と関係式で特定すること．論理問題．基本群．結び目群．組み紐群．

§15 群の例：リー群と代数群

リー群．トーラス．そのリウヴィルの定理での役割

A. コンパクト・リー群
　古典コンパクト・リー群とその間の幾つかの関係

B. 複素解析的リー群
　古典複素リー群．他の幾つかのリー群．ローレンツ群．

C. 代数群
　代数群，アデール群．玉河数．

§16 群論の一般的な結果

直積．ウェダーバーン--レマク--シュミットの定理．組成列， ジョルダン--ヘルダーの定理．単純群，可解群．単純コンパクト・リー群． 単純複素リー群．有限単純群，分類．

§17 群の表現

A. 有限群の表現
　表現．直交関係．

B. コンパクト・リー群の表現
　コンパクト群の表現．群上の積分．ヘルムホルツ--リーの理論． 可換なコンパクト群の指標とフーリエ級数． 4次元リーマン幾何のワイル・テンソルとリッチ・テンソル． SU(2) と SO(3) の表現．ゼーマン効果．

C. 複素古典リー群の表現
　非コンパクト・リー群の表現．有限次元複素古典リー群の表現の完全可約性．

§18 群の応用

A. ガロア理論
　ガロア群．方程式を根号で解くこと．

B. 線形微分方程式のガロア理論（ピカール--ヴェシオ理論）

C. 不分岐被覆の分類
　不分岐被覆の分類と基本群

D. 不変式論
不変式論の第1基本定理

E. 群の表現と素粒子の分類

§19 リー代数と非結合的代数

A. リー代数
　リー代数の例としてのポアソン括弧式．リー環とリー代数．

B. リー理論
　 リー群のリー代数

C. リー代数の応用
　リー群と剛体の運動

D. 他の非結合的代数
　ケイリー数．8次元空間の6次元部分多様体上の概複素構造．非結合的実多元体．

§20 圏（カテゴリー）

図式と圏．普遍写像問題．関手．トポロジー起源の関手：ループ空間，懸垂． 圏での群対象．ホモトピー群．

§21 ホモロジー代数

A. ホモロジー代数概念のトポロジー的な起源
　複体とそのホモロジー．多面体のホモロジーとコホモロジー．固定点定理． 微分形式とド・ラム・コホモロジー；ド・ラムの定理．コホモロジー完全系列．

B. 加群のコホモロジーと群のコホモロジー
　加群のコホモロジー．群のコホモロジー．離散群のコホモロジーのトポロジー的な意味

C. 層のコホモロジー
　層；層のコホモロジー．有限性定理．リーマン--ロッホの定理．

§22 K理論

A. 位相的K理論
　ベクトル束と関手 ${\cal V}ec(X)$．周期性と $K_n(X)$．$K_1(X)$ と無限次元線形群．楕円型微分作用素のシンボル．指数定理．

B. 代数的K理論
　射影加群の類群．環の K₀, K₁, K_n．体の K₂ とブラウワー群との関係．K理論と算術

　 参考文献についてのコメント

　 参考文献

　 人名索引

　 事項索引