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『本格数学練習帳』のホーム.
『本格数学練習帳』 目次
『本格数学練習帳 I ラマヌジャンの遺した関数』 目次
- はじめに
- 訳者まえがき
- 目次
- 第1講 数は有理数で近似できるの？
- 1.1節: プロローグ
- 1.2節: 誰が正しいのか？
- 1.3節: 手品
- 1.4節: 何が良い近似なのか？
- 1.5節: 格子
- 1.6節: 定理1.1の証明
- 1.7節: 2次の近似
- 1.8節: 連分数
1.8.1 定義と術語
1.8.2 いくつかの単純な関係式
1.8.3 なぜ連分数は10進小数よりも良いのか
1.8.4 なぜ10進小数は連分数よりも良いのか
- 1.9節: ユークリッドの互除法
1.9.1 連分数とユークリッドの互除法
1.9.2 ユークリッドの互除法の幾何的表現
- 1.10節: 最良近似としての近似分数
- 1.11節: 近似分数に対する近似の質の指標
- 1.12節: フルヴィッツ・ボレルの定理の証明
- 1.13節: 手品に戻って
- 1.14節: エピローグ
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第2講 2項係数の算術的性質
- 2.1節: 2項係数とパスカルの三角形
- 2.2節: パスカルの三角形と組み合わせ論と確率
- 2.3節: パスカルの三角形と三角法
- 2.4節: pを法としたパスカルの三角形
- 2.5節: 素因数分解
- 2.6節: パスカルの三角形におけるp3を法とする合同
- 2.7節: pの高次のベキを法とする合同式
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第3講 同類項をまとめることと，オイラー，ガウス，マクドナルドの公式と捉え損ねた機会
- 3.1節: オイラーの恒等式
- 3.2節: オイラーの恒等式についてオイラー自身が書いたこと
- 3.3節: オイラーの恒等式の証明
- 3.4節: 最初の応用：分割関数
- 3.5節: 第2の応用：約数の和
- 3.6節: ガウスの恒等式とヤコビの恒等式
- 3.7節: ヤコビの恒等式の証明
- 3.8節: オイラー関数のベキ
- 3.9節: ダイソンの物語
- 3.10節: マクドナルドの恒等式
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第4講 3次と4次の方程式
- 4.1節: はじめに
- 4.2節: 公式
- 4.3節: 公式の証明
- 4.4節: 公式を使ってみよう
- 4.5節: 解はいくつある？
- 4.6節: 公式に戻って
- 4.7節: 判別式が負の場合
- 4.8節: 三角法を使って3次方程式を解く
- 4.9節: まとめ：3次方程式の解き方
- 4.10節: 4次方程式：4という数がどうしてそんなに特別なのか？
- 4.11節: 補助3次方程式
- 4.12節: a,b,cをp,q,rでどのように表すか？
- 4.13節: x_1,x_2,x_3,x_4をy_1,y_2,y_3でどのように表すのか
- 4.14節: 結論：方程式(4.4)を解く
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第5講 5次方程式
- 5.1節: はじめに
- 5.2節: ベキ根による公式とは何か？
- 5.3節: 主要な結果
- 5.4節: 根の数
- 5.5節: aの変動
- 5.6節: 置換
- 5.7節: aの変動と根の置換
- 5.8節: aの変動と途中のベキ根の置換
- 5.9節: ループの交換子
- 5.10節: 主定理の証明
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第6講 多項式にはいくつの根があるのか？
- 6.1節: 少項式
- 6.2節: デカルトの規則
- 6.3節: スツルムの方法
- 6.4節: 代数学の基本定理
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第7講 チェビシェフの多項式
- 7.1節: 問題
- 7.2節: 小さい次数
- 7.3節: 解答
- 7.4節: 公式
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第8講 方程式の幾何学
- 8.1節: 方程式x^2+px+q=0
- 8.2節: 方程式x^3+px+q=0
- 8.3節: 包絡線の方程式
- 8.4節: 双対曲線
- 8.5節: 射影平面
- 8.6節: 方程式x^4+px^2+qx+r=0
- 8.7節: 判別式の公式
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 演習問題の解答(1-8講)
- 参考文献
- 索引
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『本格数学練習帳 II メビウスの作った曲面』 目次
- はじめに
- 訳者まえがき
- 目次
- 第9講 カスプ
- 第10講 4頂点を巡って
- 10.1節: 4頂点定理
- 10.2節: 焦点，縮閉線，伸開線，接触円
- 10.3節: 4頂点定理の証明
- 10.4節: 2つの別証
- 10.5節: さまざまな結果
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第11講 同じ面積の線分たち
- 11.1節: 領域を切り分ける直線族
- 11.2節: 楔形の例
- 11.3節: 同じ面積の線分の包絡線は中点の軌跡である
- 11.4節: 余談：外部ビリヤード
- 11.5節: 包絡線にあるものとないもの
- 11.6節: カスプはいくつあるか？
- 11.7節: すべてを一つの図に
- 11.8節: 多角形
- 演習問題
- 第12講 平面曲線について
- 12.1節: 2重点と2重接線と変曲点
- 12.2節: いたずら書きからファブリキウス・ビエールの公式へ
- 12.3節: カスプのあるいたずら書き：フェランの公式
- 12.4節: 巻き数とホイットニーの定理
- 12.5節: 巻き数に対する組み合わせ論的公式
- 12.6節: パスカルの三角形におけるp3を法とする合同
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第13講 1枚の紙を折り曲げて作る曲面
- 13.1節: 可展面：1枚の紙で作られる曲面
- 13.2節: あらゆる可展面は線織面である
- 13.3節: スポークだけでなく定規でも
- 13.4節: 可展面上で直線を延ばそう
- 13.5節: なぜカスプ辺が現れるのか？
- 13.6節: 逆向きの構成：カスプ辺から可展面へ
- 3.7節: カスプ辺は滑らかだろうか？
- 3.8節: ツバメの尾
- 3.9節: ツバメの尾はどこにでもある
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第14講 メビウスの作った曲面
- 14.1節: はじめに：蟻やハサミのことじゃなく
- 14.2節: 紙を折らずに
- 14.3節: 主定理
- 14.4節: 紙でできる曲面
- 14.5節: 不等式λ≧π/2の証明
- 14.6節: 不等式λ≦\sqrt {3}の証明
- 14.7節: これ以上詳しいλの値が分からない理由
- 演習問題
- 第15講 もう少し紙折りをしてみると
- 15.1節: 折り線は直線
- 15.2節: それでも，折り線は曲線になり得る
- 15.3節: 空間曲線の幾何
- 15.4節: 紙折りの実験を説明する
- 15.5節: さらに公式と観察を
- 15.6節: 2つの例
- 15.7節: 歴史ノート
- 演習問題
- 第16講 曲面上のいろいろな直線
- 16.1節: 曲面とは何か？
- 16.2節: 線織面
- 16.3節: 鍵となる2つの例
- 16.4節: 2重線織面
- 16.5節: 平面以外の3重線織面は存在しない
- 16.6節: 直線の3つ組で生成される曲面
- 16.7節: 直線の3つ組で生成される曲面に対する方程式
- 16.8節: ほかの2重線織面は存在しない
- 16.9節: スリーン上の影絵
- 演習問題
- 第17講 27本の直線
- 17.1節: はじめに
- 17.2節: 「いくつある？」｣というのは良い問題なのか？
- 17.3節: 主結果
- 17.4節: 補助問題：2重接線
- 17.5節: 3次曲面と4次曲線
- 17.6節: 28本かそれとも27本か？
- 17.7節: このすべての直線が実直線になり得る
- 17.8節: 他にもいくつかの曲面がある
- 17.9節: 27本の直線の配置
- 17.10節: 結論：代数幾何におけるほかの数え上げ問題
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第18講 網の幾何
- 18.1節: はじめに
- 18.2節: 定義と例を少し
- 18.3節: 6角の網
- 18.4節: 6角の直線網と3次曲線
- 18.5節: パッポスとパスカル
- 18.6節: 3次曲線上の点の加法
- 18.7節: 空間で
- 18.8節: チェビシェフ網
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第19講 クロフトンの公式
- 19.1節: 半直線の空間と面積形式
- 19.2節: 幾何光学との関係
- 19.3節: クロフトンの公式
- 19.4節: 最初の応用
- 19.5節: DNA幾何不等式
- 19.6節: ヒルベルトの第4問題
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 演習問題の解答(10-19講)
- 参考文献
- 索引
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『本格数学練習帳 III ヒルベルトの忘れられた問題』 目次
- はじめに
- 訳者まえがき
- 目次
- 第20講 曲率と多面体
- 20.1節: 平面では
- 20.2節: 多面錐の曲率
- 20.3節: 双対錐と球面多面体
- 20.4節: 平行移動と回転
- 20.5節: ガウス・ボネの定理
- 20.6節: 一般多面体上の閉測地線
- 20.7節: 正多面体上の閉測地線
- 20.8節: 滑らかな曲面：パノラマ
- 20.9節: ３つの例：テニス・ボール，フーコーの振り子，自転車の車輪
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第21講 内接できない多面体
- 21.1節: 主定理
- 21.2節: もう１つの例
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第22講 ヒルベルトの忘れられた問題
- 22.1節: ヒルベルトの第3問題
- 22.2節: 平面での類似の問題に対する答えは「できる」である
- 22.3節: ヒルベルトの第3問題に似てはいないが，類似の解答を持つ平面の問題
22.3.1.幾何的な準備
22.3.2代数的証明
- 22.4節: デーンの定理の証明
- 22.5節: さらなる結果
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第23講 不可能なタイル貼り
- 23.1節: はじめに
- 23.2節: 彩色
- 23.3節: 彩色の議論でできないこと
- 23.4節: コンウェイのタイル貼り群
- 23.5節: 定理23.1の証明
- 23.6節: マックス・デーンに戻って
- 23.7節: 正方形によるタイル貼りと電気回路
- 23.8節: 整数辺を持つ長方形によるタイル貼り
- 23.9節: 等しい面積の三角形によるタイル貼り：ちょっとだけ
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第24講 多面体の剛性
- 24.1節: コーシーの定理
- 24.2節: コーシーの定理の証明
- 24.3節: オイラーの定理と補題24.1の証明
- 24.4節: アーム補題と補題24.2の証明
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第25講 柔軟な多面体
- 25.1節: はじめに
- 25.2節: ブリカールの八面体
- 25.3節: ブリカールの八面体の幾何
- 25.4節: コネリーの構成
- 25.5節: もっとよい作り方
- 25.6節: ふいご予想
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第26講 アレクサンダーの角つき球面
- 26.1節: C.ジョルダンとA.シェーンフリースの定理
- 26.2節: 空間への一般化
- 26.3節: それはとても美しい
- 26.4節: それは真っ当な球面である
- 26.5節: 角つき球面の外部
- 26.6節: ほかには？
- 26.7節: 結論：さらなる発展
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第27講 円錐を裏返す
- 27.1節: 問題
- 27.2節: 解答
- 27.3節: コメント
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第28講 楕円の中のビリヤードと楕円面上の測地線
- 28.1節: 平面ビリヤード
- 28.2節: 円錐曲線の光学
- 28.3節: 焦線と紐作図とグレイヴズの定理
- 28.4節: 幾何的結果
- 28.5節: 楕円座標
- 28.6節: 見かけの輪郭とシャールの定理
- 28.7節: 楕円面上の測地線
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第29講 ポンスレのポリズムとほかの閉包定理
- 29.1節: 閉包定理
- 29.2節: 証明
- 29.3節: 分岐
- 29.4節: ポンスレのグリッド
- 29.5節: マネー=クーツの定理
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 第30講 楕円体の重力的引力
- 30.1節: 空洞に重力はない
- 30.2節: 球面の外での重力
- 30.3節: 電荷の自由分布
- 30.4節: ホメオイド
- 30.5節: アーノルドの定理
- 30.6節: ホメオイドの外での引力：アイヴォリーの定理
- 本稿の数学を開拓した人々
- 演習問題
- 演習問題の解答(20-30講)
- 参考文献
- 索引
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