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『代数学とは何か』 文献へのコメント



 本書全体は,代数的な概念や理論の体系的な叙述と,鍵となる例を語るという2つのテーマを織り交ぜるということに基づいている. これら2つのテーマに対する参考文献を別々に考えて挙げた. 私の印象では,原則として,書物の初版は,第2版以降が色々な点で技術的に完備されているときにも,より新鮮でより興味深いものであることがある. このため,以下では常に,私が知っている初版を引用することにした.
 群,環,加群,体といった代数の基本概念と,これらの概念に関連した基本的な理論で,半単純加群や半単純環の理論やガロア理論を含むものが,ファン・デル・ヴェルデン[104]の古典的な2巻本の教科書に述べられている. この素晴らしい本が世に出てから半世紀以上もの時が経ったが,いささかも古びることはなく,そこに述べられている問題の大半には,今日においてもよりよい記述があるわけではない.
  代数の基礎概念を分離し,公理論的アプローチの精神で代数を鋳直す過程には1世紀以上もの時が掛かり,ガウスガロアジョルダンクラインクロネッカーデデキントヒルベルトが関わっている. しかし,この1世紀以上かかった過程の結果を標準的な代数の言葉に定式化することは,おそらく20世紀の20年代の10年間のうちになされたと言ってよい. これに巨大な役割を果たしたのはE.ネーターであった. この時期にファン・デル・ヴェルデンの本が出版されている. 代数学の全精神とその記述の仕方がどう変化したかを感じとるには,ファン・デル・ヴェルデンの本と,それ以前の世代が代数学を学んでいたヴェーバーの講義 [105] とを比べてみるとよい.
  より新しい文献からは,ブルバキの『数学原論』シリーズの代数に関する巻 [16, 17] を挙げなければならない. これらの書物は初心者向けの教科書として使うこともできるような印象を与えるかも知れない. 何しろ実際上は完全に記述はそこで閉じていて,しかも最も簡単な定義から始められているのだ. しかし,そういう印象はまったくの錯覚である. 彼らの基本原則がテーマを最大限に一般化することであり,概念の導入の動機付けになった素材や,理論展開の方向性をまったく欠いていることからもわかる. しかし,専門家にとっては貴重な詳細の詰まった宝庫でもある.
  もっと専門的な教科書からは,代数学者でない人の関心にも留意して書かれた,アティヤマクドナルドの可換代数の教程 [5] を挙げておく.
  §11で与えた多元体の構造に関する専門的な結果は,ドイリングの概説書 [33] やA.ヴェイユの本 [106] の中に体系的に扱われている.
  これまでの文献は主に本書の§2--§11 の題材を扱っている. §12からは群論に移る. その基礎については,もう一度ファン・デル・ヴェルデンの本と,(いくぶん広い観点から)H.ワイルの古典的なモノグラフ [107] の群論に関する章を勧めておく. 群の例として運動群のような直観的な対象があるけれど,群の一般概念を展開し,群論を独立した分野にするためにもっとも刺激になった例は,有限集合の,さらに言えば,多項式の根の集合の置換の群であった. ラグランジュアーベルに遡るアイデアはガロアの仕事 [45] の中で具体的な形をとることになった. この中で非常に明瞭に見てとれることは,ガロア群が具体的な置換の群として実現されるにも拘わらず,体論の問題が特に抽象群としてのガロア群に関係しているという理解が増していくことである. (ラグランジュはこのアイデアを「置換は方程式の形而上学である」と表現した.) もう1つ刺激になったのは,ガウス[46]が合同類と2次形式の類を体系的に使い,これらの上の演算を定義したことで,裏に何か一般的な概念が隠れているという感じを創り出したのであった.
  群論をテーマとする最初の著作はジョルダンの本[70]で,豊富な例とアイデアを含んでおり,今日もその価値を失っていない. この本では,有限変換群だけが扱われている. クラインリーの業績を出発点として,無限離散群と連続群の考察が始まった. ここで始めてクラインの素晴らしい書物『19世紀の数学の展開の講義』 [73] に触れることができる. ここで,今問題にしているこの時期の群論の発展が,もっとも影響力のあった参加者の視点から記述されている. しかしこの本は代数の他の分野(や数学全体)の発展に関しても大変興味深いことが沢山書かれている.
  抽象的な群論に関する最初の書物は,有限群だけしか考察されていないが,バーンサイドの本[21]である. これ以降の論述は,長い間,その改良に過ぎなかった. 一番完全な形のものはシュパイザー[98]による. 有限群論の現代的な教程にはフッペルト(とブラックバーン)の3巻本 [67, 68] がある. 無限群の観点は,クローシュの本 [77] の最大の特徴である. 生成元と関係式で群を定義する理論の興味深い歴史的概説が[24]にある. 群論の論理学的な問題はアルゴリズムの概念と結びついている. この概念は30年代に生まれ,40年代には数々の具体的な代数の問題がアルゴリズム的に解けないことの証明がなされるようになる. ここにある文献の研究に関しては自分の体験を引い合いに出すことができる. この領域は論理学者でない私にはまったく手の出せないような印象を引き起こしたが,それは書物[116]に再現されている今はなきA.A.マルコフの講演を聞くまでのことで, そこではすべてが透き通るほどに明白になっている. 論理学者でない数学者向けの,この種の問題の記述が,マニンの教科書 [81] にある.
  リー群論に関する最初の本は,リーエンゲルの3巻本[79]である. この本には,新しい科学の分野の誕生の目撃証言を見るような興味深さがある. 基本概念のさらに現代的な記述はL.S.ポントリャーギンの本[90]にあり,さらに現代的な(つまり,座標系を使わないでも可能な)ものはシュヴァレーの本[25]にある. 美しい記述がホッホシルトの本[64]にもある.
  代数群に関してはシュヴァレーの概説記事[28]や[12], [66], [99]のような本がある. 単純リー群の分類については, コンパクト群に対しては [90]と[111],複素リー群に対しては[94],実リー群に対しては[50]にある. 単純代数群の分類については,シュヴァレー・セミナー[27]と,[66]や[99]のような本にある. 有限単純群については,概説記事[103]とゴーレンシュタインの本[49]を挙げる(しかしこの本では分類の証明はされておらず,その記述のあるものは今日まで1冊もない).
  有限群の表現論の基礎はフロベニウスによってなされた. 彼の業績は全集[44]で見ることができ,それはロシア語にも翻訳されている \footnote{[訳註]ソ連時代のロシアでは,数学ばかりでなく基礎科学の基本文献は網羅的に翻訳されていた.それがソ連の基礎科学の厚みを支えていた.}. より現代的な記述がH.ワイルのモノグラフ[107]の関係した節やセールの本[95]の最初の節(§1--§8)にある. コンパクト群の表現については,また,H.ワイル[107],L.S.ポントリャーギン[90],シュヴァレー[25],D.P.ジェロベンコ[111]といった本を参照すること. A.A.キリロフの本[72]は(リー)群の表現論についての広範な概説になっている. さらに最近の問題の紹介が,アティヤの編集した論文集[6]に見られる.
  H.ワイルの本[109]は表現論に関する古典的な研究である. この本は,分野全体の以後の発展に強い影響を与えた. そこには,特に,「座標化」の概念や,本書で使った対称性と表現の概念の関係についてのアイデアが含まれている.
  リー理論は実際上,上に述べたリー群に関するすべての教科書に含まれている. その異なる発展段階が[79], [90], [25], [64] を見るとわかる.
  ケイリー代数(8元数)については,フロイデンタールの概説[43]を挙げる. その幾何学的応用についてはローソン[78]を参照のこと.
  実数体上の(非結合的)加除代数(多元体)の基本定理の証明は[4]にある.
  圏と関手の概念はアイレンベルグマクレーンの仕事[38, 39]の中で定式化され,そこでは , 公理論的数学に対する新しい言葉としての意義が詳細に述べられている. 圏理論の基本概念の体系的な叙述がヒルトンとスタンバック[61]の第2章にある. またある側面がグロタンディエクの論文[51]の初めの方の節で考察されている. 圏理論における群対象の概念の詳細な記述が,彼の本[53]の第0章§8にある.
  ホモロジー代数の基礎の体系的な記述は本[61]にある. この分野の古典的な著作はH.カルタンS.アイレンベルグの本[22]だが,そこではもっと抽象的に書かれている. 本書に近い精神で書かれている群のコホモロジー理論は,ブラウンの本[20]にある. 層のコホモロジー理論の一般概念は[102]に述べられている. 主にリーマン--ロッホの定理への応用を扱った古典的な参考書は,ヒルツェブルフの本[62]である.
  本書で扱ったK理論の部分は,大体次の2つの概説書に含まれている. 位相的K理論はアティヤ[4],代数的K理論はミルナー[85]である. §22の最後に述べた代数的K理論の問題に関しては,一般向けに書かれてはいないが,ススリンの概説[100]を挙げることができる.
  最後に,本書で多くの場合に(特に圏論やホモロジー代数を述べた節では)位相幾何学の概念や結果を使っている関係で,位相幾何学の文献を幾つか挙げておこう. 本書に近い形(§20で定式化された観点を参照)で書かれた参考書にドルド[36]やシュヴィツァー[101]がある. しかし,たとえば曲面の位相に関係したような,幾何学的直観がより重要な役割を果たすような場所では,ザイフェルトトレルファールの古い本[93]に代わるべきものが現れていない. 微分可能多様体とその上の微分形式の積分の理論はシュヴァレーの本[25]とド・ラムの本[92]にある.
  さて,個々の例を詳しく扱った文献に移ろう. おそらく本書の中で,例を使って一番豊かに説明されているテーマは, 関数的な観点と代数的な観点との「双対性」であり,それは, 数と関数とのアナロジーで,環の元を(最大または素)イデアルの集合上の「関数」として直観的に考えることであろう. これは非常に古いアイデアの総合である. 実を言えば,すでに,実領域から複素領域への解析接続が,関数をその上で考えるべき「自然な」集合とは何かという問題を提起している. この方向への大きなステップはリーマン面の概念の創出であった. デデキントヴェーバーの論文[31]では,1変数代数関数体(本書の記号では,代数曲線Cに対する体K(C) のこと)のリーマン面が純代数的に, 体K(C)からK (さらに∞というシンボルをK に付加して)への「準同型」の集合として定義されている. 彼らの論文と同じ雑誌の同じ巻に発表されたクロネッカーの論文[76]には,代数的数と任意個の変数の代数関数を統合する理論の構築に対するプログラムが展開されている. 数--関数の並行性のアイデアが,クラインの「講義」[73]に述べられている. デデキントヴェーバーのアイデアに沿った1変数代数関数論の論述がシュヴァレーの本[26]の中で構築されている.
  点集合のトポロジーと論理学の問題に関連して,ブール代数がある型の位相空間上の,体F2に値を持つ連続関数の環として表現可能であることが証明された(これについては[10]参照). 同じアイデアの,実数値もしくは複素数値の連続関数環への応用については,本[47]で知ることができる. 無限回微分可能な関数の環については[19]を,解析関数環については[65]を参照のこと. 最後に,整数論と代数幾何を包摂し,整数論的問題に幾何的直観を働かせる可能性を与えるスキームの概念は,グロタンディエクによって展開された. これについては,彼自身の概説的論文[52],マニンの講義[83],それに私の本[96]の第5章を参照のこと. 整数論の領域に無限小の方法を移すこと,特にp進数の構成はこのことに関連している. (代数的数の整数環の理論においてもだが)基本的な入門書としては本[15],より深い理論については本[106]を参照のこと.
  もう1つの「全体にわたる」テーマは,平面や射影空間に座標を入れるという,狭い意味での「座標化」である. これ(特にデザルグの公理やパッポスの公理の役割)については,ヒルベルトの本[59]を,より代数的な形については[3]や[7]の本を参照のこと. 連続幾何はフォン・ノイマンの本[87]に説明されている.
  本書で何度も出てきた有限体は,ガロアによって発見された. 彼の著作[45]にはすでに,その完全な理論が含まれている. その符号理論への応用(特に有限体上の代数幾何の応用)は[48]や[82]の概説で述べられている.
  可換な微分作用素の理論における代数的方法は,本[69]の§5.5に述べられた結果から始まった. この結果は忘れられたが,数10年後に再発見された. 現代的な概説については[86]を参照のこと.
  超積については[8]を参照のこと.
  加群のテンソル積,外積,対称積は[75]と[16]で定義されている. 完備化の性質は[5]に述べられている.
  多くの例がクリフォード代数に関係している. これは19世紀にクリフォードによって導入され(彼の選集[29]参照),20世紀になり(特殊な場合に)ディラック[35]によって,2階の線形微分作用素を行列係数の1階の作用素の平方として表わそうとする試みに関係して,再発見された. 詳しい現代的な記述が[17]にある.
  群の概念に関係した例に移ろう. ワイルの優美な本[110]は対称性の概念の検討に費やされている. 対称性と力学における保存法則との関係(E.ネーターの定理)については[30]か[2]を参照のこと. 物理法則の対称性については,興味深いファインマンの講義[41]に述べられている.
  変換群としては実現されない群の例として,群Ext(A, B) は引用した任意のホモロジー代数の教程で,ブラウワー群は[33]で,イデアル類群は[5]で見られる.
  正多面体とその有限運動群との関係については,アダマールの本[54]に詳しく考察されている. 複素平面の1次分数変換群の有限部分群は,彼のもう1つの本[55]にある. 格子の対称性は本[74]で解析されている.
  鏡映で生成される有限群の詳細な解析は,ブルバキの本[18]に含まれている. §13で導入された,これらの群を分類するのに用いられた同じ図式が,他の一連の分類問題にも現れることは驚くべきことである. (それらのうちで最も重要なのは単純なコンパクト・リー群と単純複素リー群の分類である.) これらの関係の概説が論文[58]にある.
  幾何学的な結晶学は,B.N.デローネ他著の[32]に述べられている. より現代的な記述が[74]にあり,そこでは装飾群とn次元結晶学も考察されている. この問題は,ヒルベルト他著の[60]の1つの章も扱っている. 17すべての群を特徴付ける装飾の完全なリストがA.I.マリツェフの概説[80]の中にある.
  すべての結晶群は,E.S.フョードロフ(1889年)とシェーンフリース(1890年)によって(互いに独立に)分類された. その翌年,E.S.フョードロフは,すべての装飾群を数え上げ[40],それは問題の,結晶学者にとってはなはだ自明でないような幾何学的性格を示している. 驚くべきことに,H.ワイルのような広く知られた数学者が[110](p.103--4)で次のように書いているのである. 「...変換群の数学的概念は19世紀になるまで創案されることはなかったが,これを基礎にして初めて.具体的にではないが古代エジプトの職人に知られていた17種の型の対称性がすべての可能性を尽くしていることを証明することができる. 不思議なことに,その証明が行われたのは遅く,現在スタンフォード大学で教えているG.ポーヤによって1924年になされたのである.」 さらに不思議なことがある. 上でH.ワイルから引用したことが,最近ある数学雑誌[89]の数巻にわたる一連の記事のテーマになった. しかし,議論のテーマとなったのは,エジプトの職人が17すべての対称性を知っていたという主張であるのに,それらの分類に関する数学的問題を誰が解いたかについてのとても重要な主張に,議論の関係者の誰も注意を払わないのである.
  ロバチェフスキー平面の離散運動群と,そのリーマン面の理論との関係については,アダマールの本[55]を参照のこと. 基本群,被覆空間,結び目群に関しては,古風だが幾何的な本[93]を挙げよう.
  群論とトポロジーのアルゴリズム問題の関係については,[42]を参照のこと.
  組み紐群を(名前はつけなかったが)最初に考察したのはフルヴィッツで,その際(今日通常行われている定義のような)幾何学的な形と基本群としての両方の形で考察されたのだが, それからずいぶん後になって,それぞれの形のものが別々に再発見されたのである. これについては[24]を参照のこと.
  リウヴィルの定理におけるトーラスの役割については,アーノルドの本[2]を参照のこと. コンパクトな古典群は[25]に丁寧に整理されている. 他のリー群の例と,特別な次元でのそれらの間の関係については[75]を参照のこと.
  代数群とその離散群との間の関係については,A.ボレルの概説[13]を参照のこと.
  表現論との関係で§17の例として挙げられた,ヘルムホルツ--リーの理論は,魅力的だがいくぶん読みにくいH.ワイルの本[108]の内容をなしている.
  群O(4) の表現と4次元リーマン多様体の曲率テンソルに関係した例については,[9]を参照のこと.
  群 SU(2) の表現とその量子力学との関係は,H.ワイルの本[107]に述べられている.
  群論の応用として挙げられた例について. ガロア理論は[104]に述べられている. カプランスキーの本[71]は微分ガロア理論の短い序論になっている. p進数体の拡大体のガロア理論に現れる群(いわゆるデョミョーシキン群)で,曲面の基本群と奇妙な並行性を持つ群の例は,本[23]で検討されている. 不変式論への応用については本[34]を参照のこと.
  素粒子の分類への群表現の応用に関しては,著者がこの理論の知識を得るのに読んだ文献を挙げることしかできない. 主なものはボゴリューボフの講義[11]である. ダイソンの概説記事[37]は興味深い入門になる. ジェロベンコの本[111]の附録IIIは役に立つ.
  剛体の運動方程式をリー群とリー代数の言葉で解釈することに関しては,本[2]と[42]を参照のこと. 形式群の理論の最も完全な概説は本[57]である.
  圏論との関係で例として与えられた位相空間のより詳細な考察が,本[36]と[101]にある.
  複体のホモロジーとコホモロジーについては[61]を参照のこと. ド・ラム・コホモロジーとド・ラムの定理の証明は[92]に含まれているが,ド・ラムの定理は層の理論[62]を使って証明するのが一番簡単である.
  層の理論の基本的な例はリーマン--ロッホの定理であり,これは本[62]に説明がある.
  位相的K理論の基本的な例は指数定理である.ヒルツェブルフの概説[63]は美しい入門になっており,[88]には証明が完全に述べられている.
  代数的K理論では,群K2と体のブラウワー群との関係に関する定理はA.C.メルクーリョフとA.A.ススリンによる([100]を参照). 有限体に対する群Knの位数の計算に関する結果はクィレン[91]による. 整数環に対する群Kn の位数に関する予想と結果に関してはスーレ[97]を参照のこと.
  代数学の発展の歴史と数学全体と,代数学との関係についての印象を得るためには,クラインの「講義」[73]は貴重な原典である. 多くの興味ある観察が,ブルバキの本の歴史覚え書きにある. 特殊な問題の歴史を述べたものだが,チャンドラーとマグヌス[24]は興味深い研究である.


 [訳者より]ロシア語原書では,文献は,ロシア語で書かれたものが最初に集められ,その後その他の言語で書かれた文献が置かれ,それぞれの中では著者のアルファベット順に並べられている. 英語版はロシア語のものをすべて英訳し,すべてを著者のアルファベット順に並べ直してある.日本の読者がロシア語字母に慣れていないことを考慮して,文献を並べる順序は英語版に従うことにした.
 追加文献については,最初が英語版によるもので,その後ロシア語第2版での追加を置き,最後に,日本の読者の便宜のために,著者の快諾も得て,若干の文献を追加した. それぞれの中では,英語にした上でのアルファベット順である.
 なお,英語版には,Zentralblattt f\"{u}r Mathematikという数学文献に関する評論雑誌における,当該論文または書籍の短評が掲載されている巻号が付してあるが,本書の多くの読者にとってあまり意味があるように思えないのと,煩雑なことから省略した. 著者のコメントと本文を読めば十分で,それ以上の情報を得たければ,引用された文献を直接読んだようがよいと思われる.

(以下のロシア語原文は省略した.必要な方は実際に本書を手に取られたい.)

[1] 『植物の一生』Prosveshchenie, Moscow, 1981 (in Russian)
[2] V.I.アーノルド『古典力学の数学的方法』 Nauka, Moskva, 1974, 431pp..
 英訳は Grad. Texts Math. 60, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1978.
 日本語訳は,『古典力学の数学的方法』(安藤韶一,蟹江幸博,丹羽敏雄訳,岩波書店,1980).
[3] E.アルティン: Geometric algebra, Interscience, New York 1957.
[4] M.F. アティヤ: K-theory, Benjamin, New York Amsterdam 1967.
[5] ------,I.G.マクドナルド: Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass. 1969.

[6] M.F.アティヤ ほか: Representation theory of Lie groups, Lond. Math. Soc. Lect. Notes 34, Cambridge Univ.\ Press, Cambridge New York 1979.
[7] R.ベーア: Linear algebra and projective geometry, Pure Appl. Math. Vol. II, Academic Press, New York 1952.
[8] J. バーワイズほか: Handbook of mathematical logic, Stud. Logic Found. Math. 90, North-Holland, Amsterdam 1978.
[9] A.ベッセ編: Geometrie riemannienne en dimension 4, Seminaire Arthur Besse 1978/1979, CEDIC, Paris 1981.
[10] G. バーコフ: Lattice theory, Amer. Math. Soc., New York 1940.

[11] N.N.ボゴリューボフ: 「素粒子の対称性の理論」, 『高エネルギー物理と素粒子論』, Kiev, Naukova dumka 1967, pp.5--112.
[12] A.ボレル: Linear algebraic groups, Benjamin, New York Amsterdam 1969.
[13] ------: Arithmetic properties of linear algebraic groups, in Proc. Int. Congr. Math., Stockholm, 1962, Inst. Mittag-Leffler, Djursholm 1963, 10--22.
[14] ------,J.-P.セール: Le theoreme de Riemann-Roch, 86, Bull. Soc. Math. Fr.(1959), p.97--136 .
[15] Z.I.ボレヴィッチ,I.R.シャファレヴィッチ: 『整数論』 Nauka, Moskva, 1964, 566pp..
  日本語訳は,『整数論 上・下』(佐々木義雄訳,数学叢書14, 19,吉岡書店,上1971,下1972).

[16] N. ブルバキ: Elements de mathematiques, Algebre, Chap. 1--3, Hermann, Paris, 1942--1948 I: 1942, III: 1948.
 日本語訳は,『数学原論:代数1, 2, 3』(銀林浩他訳,東京図書,1968, 1970, 1970).
[17] -----: Elements de mathematiques, Algebre, Chap.9, Hermann, Paris 1959.
 日本語訳は,『数学原論:代数7』(田坂隆士他訳,東京図書,1970).
[18] -----: Elements de mathematiques, Algebre, Groupes et algebres de Lie, Chap. 4--6, Hermann, Paris 1968.
 [訳註]日本語訳は,『数学原論:リー群とリー環3』(杉浦光夫訳,東京図書,1970).
[19] Th.ブレッカー: Differentiable germs and catastrophes, Cambridge Univ.\ Press, Cambridge New York 1975.
[20] K.S.ブラウン: Cohomology of groups, Grad. Texts Math.\ 87, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1982.

[21] W.バーンサイド: Theory of groups of finite order, Cambridge Univ.\ Press, Cambridge 1897; Reprint: Dover, New York 1955.
 [訳註]日本語訳は,『有限群論』(伊藤昇,吉岡昭子訳,現代数学の系譜9,共立出版,1970).
[22] H.カルタンS.アイレンベルグ: Homological algebra, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1956.
[23] J.W.S.カッセルズ,A. フレーリッヒ編: Algebraic number theory, Academic Press, London 1967.
[24] B.チャンドラー,W.マグヌス: The history of combinatorial group theory, Stud. Hist. Math. Phys. Sci. 9, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1982.
[25] C.シュヴァレー: Theory of Lie groups, Princeton Mathmatical Series 8, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1946.
 日本語訳は『リー群論』(齋藤正彦訳)ちくま学芸文庫(2012)

[26] -----: Introduction to the theory of algebraic functions of one variable, Am. Math. Soc., New York 1951.
[27] ------: Classification des groupes de Lie algebriques, Seminaire C. Chevalley 1956--58, Secretariat mathematique, Paris 1958.
[28] ------: La theorie des groupes algebriques, Proc. Int. Congr. Math., Edinburgh 1958, Cambridge Univ.\ Press, Cambridge New York 1960, 53--68.
[29] W.K.クリフォード: Mathematical papers, Macmillan, London 1882.
[30] R.クーラントD.ヒルベルト: Methoden der mathematischen Physik, Bd. I, Springer-Verlag, Berlin 1931.
  英訳は Methods of mathematical physics, Vol. I, Interscience, New York 1953.
 日本語訳は,『数理物理学の方法 全4巻』(齋藤利弥監訳,丸山滋弥他訳,東京図書,1959--62).

[31] R.デデキントH.ヴェーバー: Theorie der algebraischen Funktionen einer Veranderlichen, 92, Crelle J. Reine Angew. Math. (1882), 181--291.
[32] B.デローネ,N.パドゥロフ,A.アレクサンドロフ: 『結晶の構造解析とレントゲン線を用いた繰り返しの基本平行6面体の決定』 ONTI, GTTI, Moskva-Leningrad, 1934, 328pp..
[33] M.ドイリング: Algebren, Springer-Verlag, Berlin 1935.
[34] J.A.デュドネ,J.B.キャレル: Invariant theory, old and new, Academic Press, New York London 1971.
[35] P.A.M.ディラック: The principles of quantum mechanics, Oxford Univ. Press, Oxford 1930.
 日本語訳は,『量子力學』(朝永振一郎,玉木英彦,木庭二郎,大塚益比古訳,岩波書店,1954).

[36] A.ドルド: Lectures on algebraic topology, Grundlehren Math. Wiss. 200, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1980.
[37] F.J.ダイソン: Mathematics in the physical sciences, 211, Scientific American(1964), 129--146.
[38] S.アイレンベルグS. マクレーン: Natural isomorphisms in group theory, 28, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 1942, 537--543.
[39] ------, ------: General theory of natural equivalence, 58, Trans. Am. Math. Soc. (1945), 231--294.
[40] E.S.フョードロフ: 「平面上の対称性」, 28, 2 『帝国聖ペテルスブルグ鉱物学会紀要』 (1891), 345--390.

[41] R.P.ファインマン: The character of physical laws, Messenger Lectures, Cornell 1964, Cox and Wyman (BBC publications), London 1965.
 日本語訳は,『物理法則はいかにして発見されたか』(江沢洋訳,ダイヤモンド社,1968).
[42] A.T.フォメンコ: 『微分幾何と微分トポロジー,特論』 Moskva, 1983,216pp.
 日本語訳は,『微分幾何学とトポロジー』(三村護訳,共立出版,1996).
[43] H. フロイデンタール: Octaven, Ausnahmegruppen und Octavengeometrien, Math. Inst. Rijksuniversitet Utrecht 1951.
[44] G.フロベニウス: Gesammelte Abhandlungen, Bd. 1--3, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1968.
[45] E.ガロア: OEuvres mathematiques d'Evariste Galois, Gauthier-Villars, Paris 1951.
 [訳註]日本語訳は,『アーベルガロア 群と代数方程式』(守屋美賀雄訳,現代数学の系譜11共立出版,1975)の中にある.

[46] C.F.ガウス: Disquisitiones arithmeticae, Werke, Bd. 1, Springer-Verlag, Berlin 1870. 英訳は Yale, New Haven, Conn. London 1966.
 日本語訳は,『ガウス整数論』(高瀬正仁訳,数学史叢書,朝倉書店,1995).
[47] I.M.ゲリファント,D.A.ライコフ,G.E. シーロフ: 『可換ノルム環』 Fizmatgiz , Moskva, 1960, 316pp..
[48] V.D. ゴッパ: 「符号と情報」39, No.1, Usp. Mat. Nauk(1984), 77--120.
[49] D.ゴーレンシュタイン:『有限単純群:分類入門』 Finite simple groups, An introduction to their classification, Univ. Series. in Math., Plenum Press New York, London 1982.
[50] 後藤守邦,F.D.グロスハンス:『半単純リー代数』 Semisimple Lie algebras, Lect. Notes. Pure Appl. Math. 38, Marcel Dekker, New York Basel 1978.

[51] A.グロタンディエク:「コホモロジー代数のいくつかの点について」 Sur quelques points d'algebre cohomologique, 9, 2-3, Tohoku Math. J. (1957), 119--221.
[52] ------:「抽象代数多様体のコホモロジー論」 The cohomology theory of abstract algebraic varieties, Proc. Int. Congr. Math., Edinburgh 1958, Cambridge Univ. Press, Cambridge New York 1960, 103--118.
[53] ------,J.デュドネ: Elements de geometrie algebrique, III, Etude cohomologique des faisceaux coherents, 11, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. (1961), 1--167.
[54] J.アダマール: Lecons de geometrie elementaire, II, Geometrie dans l'espace, Armand Colin, Paris 1908.
[55] ------:『保形関数論における非ユークリッド幾何学』 Moskva- Leningrad, 1951, 133pp.
 [訳註]ロバチェフスキー全集への寄稿として1920年頃に書かれ,後になってA.V.ヴァシーリェフ, 1853.7.2--1929.10.9)によってロシア語に翻訳されて出版されたものである.残念ながら,フランス語の原稿は失われてしまったが, Abe Shenitzerによる英訳 Non-Euclidean geometry in the theory of automorphic functions が,アメリカ数学会とロンドン数学会の History of Mathematics, 17 として1999年に出版されている.

[56] M. ハマーメシュ: Group theory and its application to physical problems, Addison-Wesley, Reading, Mass. London 1964.
[57] M. ヘイズウィンクル: Formal groups and applications, Pure Appl. Math. 78, Academic Press, New York London 1978.
[58] ------,W.ヘッセリンク,D.シエルスマ,F.D.フェルドカンプ The ubiquity of Coxeter-Dynkin diagrams (an introduction to the A-D-E problem), 25, Nieuw Arch. Wisk. III. Ser. (1977), 257--307.
[59] D.ヒルベルト: Grundlagen der Geometrie, Teubner, Leipzig Berlin 1930.
 日本語訳は,『幾何学の基礎,エルランゲン・プログラム』(寺阪英孝,大西正男訳・解説,現代数学の系譜7,共立出版,1970)の中にある.
[60] ------,S.コーン-フォッセン Anschauliche Geometrie, Springer-Verlag, Berlin 1932.
 英訳は Geometry and the imagination, Chelsea, New York 1952.
 日本語訳は,『直観幾何学』(芹沢正三訳,みすず書房,1966).

[61] P.J.ヒルトン,U.スタンバック: A course in homological algebra, Grad. Texts Math. 4, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1971.
[62] F.ヒルツェブルフ: Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1956.
  Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1966.
 日本語訳は,『代数幾何における位相的方法』(竹内勝訳,数学叢書12,吉岡書店,1970).
[63] ------ : Elliptische Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten, 33, Arbeitsgemeinschaft fur Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen(1965), 563--608.
[64] G.ホッホシルト: The structure of Lie groups, Holden-Day, San Francisco London Amsterdam 1965.  [訳註]日本語訳は,『リー群の構造』(橋本浩治訳,吉岡書店,1972).
[65] K. ホフマン: Banach spaces of analytic functions, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 1962.

[66] J.E.ハンフリーズ: Linear algebraic groups, Grad. Texts Math. 21, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1975.
[67] B.フッペルト: Endliche Gruppen, Bd. I, Grundlehren Math. Wiss. 134, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1967.
[68] ------,N.ブラックバーン: Finite groups, Vol. II--III, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1982. II: Grundlehren Math. Wiss. 242. III: Grundlehren Math. Wiss. 243.
[69] E.L.インス: Ordinary differential equations, Longmans-Green, London 1927.
[70] C.ジョルダン: Traite des substitutions des equations algebriques, Gauthier-Villars, Paris 1870.

[71] I.カプランスキー: An introduction to differential algebra, Hermann, Paris 1957.
[72] A.A.キリロフ: 『表現論の基礎』, Nauka, Moskva} 1972.
 英訳は Grundlehren Math. Wiss. 220, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1976.
[73] F.クライン: Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, Grundlehren Math. Wiss. 24, Springer-Verlag, Berin 1926.
 日本語訳は,『クライン:19世紀の数学』(彌永昌吉監修,足立恒雄,浪川幸彦監訳,石井省吾,渡辺弘訳,共立出版,1995).
[74] M.クレム: Symmetrien von Ornamenten und Kristallen, Hochschultext, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1982.
[75] A.I.コストリキンYu.I.マニン: 『線形代数と幾何』 MGU, Moskva} 1980, 318pp..
 英訳は Linear algebra and geometry, Gordon and Breach, New York London 1989.

[76] L.クロネッカー: Grundzuge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grossen, 92, J. Reine Angew. Math. (1882), 1--123.
[77] A.G.クローシュ: 『群論』GITTL, Moskva-Leningrad, 1944, 372pp..
 英訳は The theory of groups, Vol.~I, II, Chelsea, New York 1955, 1956.
 日本語訳は,ア・ゲ・クローシュ『群論 上・下』(本田欣哉校閲,吉崎敬夫訳,数学選書,東京図書,上1960, 下1961).
[78] H.B.ローソン Jr.: Surfaces minimales et la construction de Calabi-Penrose, Exp. 624, Seminaire Bourbaki, 121/122, Asterisque (1985), 197--211.
[79] S.リーF.エンゲル: Theorie der Transformationsgruppen, Bd. I--III, Teubner, Leipzig, I 1883, II 1888, III 1893.
[80] A.I.マリツェフ: 「群とその他の代数系」, 『数学,その内容,方法,意義』, 第3巻,ソ連科学アカデミー, Moskva, 1956, 248--331.

[81] Yu.I. マニン: A course in mathematical logic, Grad. Texts Math. 53, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1977.
[82] ------,S.G.ヴレドゥッツ: 「線形符号とモデュラー曲線」25, 『現代の数学の問題.最新の業績』Itogi nauki i tehniki, VINITI AN SSSR, (1984), 209--256.
 英訳は Linear codes and modular curves,30, J. Sov. Math. (1985), 2611--2643.
[83] ------: 『代数幾何学講義 第1部.アフィン・スキーム』 MGU, Moskva, 1970, 133pp..
[84] L.ミシェル: Symmetry defects and broken symmetry configurations, hidden symmetry, 52, Rev. Mod. Phys. (1980), 617--652.
[85] J.ミルナー: Introduction to algebraic K-theory, Ann. Math. Stud., Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1971.

[86] D.マンフォード: An algebro-geometric construction of commuting operators and of solutions to Toda lattice equations, Korteweg-de Vries equations and related non-linear equations, in Proc. int. symp. on algebraic geometry, Kyoto 1977, Kinokuniya, Tokyo 1977, 115--153.
[87] J.フォン・ノイマン: Continuous geometry, Princeton Univ.\ Press, Princeton New Jersey 1960.
[88] R.S.パレ: Seminar on the Atiyah-Singer index theorem, Ann. Math. Stud. 57, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1965.
[89] J. ペデルセン: Geometry: The unity of theory and practice, 5, No. 4, Math. Intell.(1983), 37--49.
  B.グリュンバウム, The Emperor's new clothes: full regalia, G string, or nothing? 6, No. 4, Math. Intell. (1984), 47--53.
 P.ヒルトン,J.ペデルセン, Comments on Grunbaum's article, 6, No. 4, Math. Intelli. (1984), 54--56.
[90] L.S.ポントリャーギン: 『連続群』 Moskva--Leningrad, 1938, 316pp..
 英訳は Topological groups, Oxford Univ.\ Press, London Milford Haven Conn.
 日本語訳は,『連続群論 上・下』(柴岡泰光,杉浦光夫,宮崎功訳,岩波書店,上1957,下1958).}.

[91] D.クィレン: On the cohomology and K-theory of the general linear groups over a finite field, (2) 96, Ann. Math. (1972), p.552--586 .
[92] G.ド・ラム: Varietes differentiables, Formes, courants, formes harmoniques, Hermann, Paris 1955.
 日本語訳は,『微分多様体:微分形式・カレント・調和形式』(高橋恒郎訳,東京図書,1974).
[93] H.ザイフェルトW.トレルファール: Lehrbuch der Topologie, Teubner, Leipzig Berlin 1934.
[94] Seminaire Sophus Lie, Theorie des algebres de Lie, Topologie des groupes de Lie, Paris 1955 .
[95] J.-P.セール: Representations lineaires des groupes finis, Hermann, Paris 1967.
  英訳は Linear representations of finite groups, Grad. Texts Math. 42, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1977.
 日本語訳は,『有限群の線型表現』(岩堀長慶, 横沼健雄訳,岩波書店,1974).

[96] I.R.シャファレヴィッチ: 『代数幾何の基礎』Nauka, Moskva, 1972, 565pp..  英訳は Basic algebraic geometry, Nauka, Moscow 1972; Grundlehren Math. Wiss. 213, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1974.
[97] K.スーレ: K-theorie des anneaux d'entiers de corps de nombres et cohomologie etale, 55, Invent. Math.(1979), 251--295 .
[98] A.シュパイザー: Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, Springer-Verlag, Berlin 1937.
[99] T.A.シュプリンガー: Linear algebraic groups, Prog. Math. 9, Birkh\"{a}user, Boston 1981.
[100] A.A.ススリン: 「代数的K理論とノルム留数準同型」, {\em 25}, 『現代の数学の問題.最新の業績』Itogi nauki i tehniki VINITI AN SSSR}(1984), 115--207.
 英訳はK-theory and the norm residue homomorphism, Itogi Nauki Tekh., 30}, J. Sov. Math.(1985), 2556--2611.

[101] R.M. シュヴィツァー: Algebraic topology --- homotopy and homology, Grundlehren Math. Wiss. 212, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1975.
[102] B.R. テニソン: Sheaf theory, Lond. Math. Soc. Lect. Notes 20, Cambridge Univ. Press, Cambridge New York 1975.
[103] J.ティッツ: Groupes simples et geometries associees, in Proc. Int. Congr. Math., Stockholm 1962, Inst. Mittag-Leffler, Djursholm 1963, 197--221.
[104] B.L.ファン・デル・ヴェルデン: Moderne Algebra, Bd. 1, 2, Springer-Verlag, Berlin 1930, 1931.
 英訳は Algebra, Vol. I, II, Ungar, New York 1970.
 日本語訳は『現代代数学1, 2, 3』(銀林浩訳,数学選書,東京図書,1959-60).
[105] H.ヴェーバー: Lehrbuch der Algebra, Bd. 1, 2, Vieweg, Braunschweig 1898, 1899 これは第2版で,初版は 1894, 1896に出版されている..

[106] A.ヴェイユ: Basic number theory, Grundlehren Math. Wiss. 144, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1967.
[107] H.ワイル: Gruppentheorie und Quantenmechanik, Hirzel, Leipzig 1928.
  英訳は Princeton 1930.
 日本語訳は,『群論と量子力学』(山内恭彦訳,裳華房,1932).1977年に現代工学社から復刻版が出ている.
[108] ------: Mathematische Analyse des Raumproblems, Springer-Verlag, Berlin 1923.
  再版は Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1977.
[109] ------: The Classical Groups, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1939.
 日本語訳は『古典群』(蟹江幸博訳,丸善出版).
[110] ------: Symmetry, Princeton Univ.\ Press, Princeton, New Jersey 1952.
 日本語訳は『シンメトリー』(遠山啓訳,紀伊國屋書店,1957).

[111] D.P.ジェロベンコ: 『コンパクト・リー群とその表現』 Nauka, Moskva, 1970, 664pp..
 英訳は Compact Lie groups and their representations, Am. Math. Soc., Providence 1973.

英語版での追加

[112] P.M. コーン: Algebra, vol. 1, 2, J. Wiley, London New York Sidney 1974, 1977. 2nd ed.: J.\ Wiley 1982.
[113] C.W.カーティス,I.ライナー: Methods of representation theory, vol. I, II, Pure and Applied Mathematics, J. Wiley, London New York Sidney 1981, 1987.
[114] N.ジャコブソン: Lectures in abstract algebra, vol. I, II, III, Van Nostrand, Princeton, New Jersey 1951, 1953, 1964.
[115] 松村英之『可換環論』,共立出版(1980).
 英訳は H.Matsumura: Commutative ring theory, C.U.P, Cambridge New York Melbourne 1986.

ロシア語原著第2版での追加

[1*] A.A.マルコフ: 「アルゴリズム論」 XXXVIII, 『スチェクロフ数学研究所紀要』(1951), 176--190.
[2*] V.V.トロフィーモフ,A.T.フォメンコ: 『可積分ハミルトン微分方程式の代数と幾何』 1995.

日本語版での追加

[1] N.ブルバキ: Elements de mathematiques, Algebre, Chap. 6--7, Hermann, Paris 1964.
  日本語訳は,ブルバキ 『数学原論:代数5』(草場敏夫訳,東京図書,1969).
[2] P.M.コーン: On the Structure of GL2 of a Ring, 30, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci.(1966), 1--33.
[3] 堀田良之 『代数入門 群と加群』,裳華房(1987).
[4] トーマス・W.ハンガーフォード: Algebra, Grad. Texts Math. 73, Spriner-Verlag Berlin Heidelberg New York 1974.
[5] A.Ya.ヒンチン: 『数論の3つの真珠』Moskva, 1945, 1946, 1979.
 日本語訳の『数論の3つの真珠』(蟹江幸博訳,日本評論社, 2000年)は第3版(1979)からのもの.
[6] 永田雅宜 『可換体論(新版)』,数学選書6,裳華房(1967, 1985).
[7] 永田雅宜 『可換環論』,紀伊國屋数学叢書1,紀伊國屋書店(1974).
[8] 佐武一郎 『リー群の話』,日本評論社(1982).
[9] 武隈良一『2次体の整数論』,数学選書,槇書店(1966).
[10] G.トス: Glimpses of Algebra and Geometry, Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg 1998.
 日本語訳は,『数学名所案内 代数と幾何のきらめき 上・下』(蟹江幸博訳,シュプリンガー・フェアラーク東京,上1999,下2000).
[11] 山崎圭次郎『環と加群』,岩波基礎数学選書,岩波書店(1990).


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